Question

求過三點O（0，0）、M₁（1，1）、M₂（4，2）的圓的方程，并求圓的半徑長和圓心坐標．

Answer 1

【答案】分析：根據垂徑定理可知圓心在圓中弦的垂直平分線上，所以利用中點坐標公式分別找出弦OM₁和OM₂的中點坐標和各自的斜率，然后根據兩直線垂直時斜率乘積為-1找出弦OM₁和OM₂的垂直平分線的斜率，即可寫出兩垂直平分線的方程，然后聯立兩直線方程求出兩垂直平分線的交點坐標即為圓心的坐標，再然后利用兩點間的距離公式求出圓心到O點的距離即為圓的半徑．
解答：解：OM₁的中點坐標為（，），直線OM₁的斜率為=1，所以垂直平分線的斜率為-1
則線段OM₁的垂直平分線方程為y-=-（x-）化簡得x+y-1=0①；
同理得到OM₂的中點坐標為（2，1），直線OM₂的斜率為=，所以垂直平分線的斜率為-2
則線段OM₂的垂直平分線方程為y-1=-2（x-2）化簡得2x+y-5=0②．
聯立①②解得，則圓心坐標為（4，-3），圓的半徑r==5
則圓的標準方程為：（x-4）²+（y+3）²=25
點評：此題考查學生會利用中點坐標公式求線段的中點坐標，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關系，會根據一點和斜率寫出直線的方程，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，會根據圓心坐標與半徑寫出圓的標準方程，是一道中檔題．