【題目】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=x(cm).
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問(wèn)x應(yīng)取何值?
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問(wèn)x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.

【答案】
(1)解:設(shè)包裝盒的高為h(cm),底面邊長(zhǎng)為a(cm),則a= x,h= (30﹣x),0<x<30.

S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800,

∴當(dāng)x=15時(shí),S取最大值


(2)解:V=a2h=2 (﹣x3+30x2),V′=6 x(20﹣x),

由V′=0得x=20,

當(dāng)x∈(0,20)時(shí),V′>0;當(dāng)x∈(20,30)時(shí),V′<0;

∴當(dāng)x=20時(shí),包裝盒容積V(cm3)最大,

此時(shí),

即此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值是


【解析】(1)可設(shè)包裝盒的高為h(cm),底面邊長(zhǎng)為a(cm),寫(xiě)出a,h與x的關(guān)系式,并注明x的取值范圍.再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式,最后求出何時(shí)它取得最大值即可;(2)利用體積公式表示出包裝盒容積V關(guān)于x的函數(shù)解析式,最后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出何時(shí)它取得的最大值即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為
B.直線x=﹣ 是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調(diào)遞增
D.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)=2sin2x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= ,
(1)若a=﹣1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若函數(shù)f(x),g(x)滿足 f(x)g(x)dx=0,則f(x),g(x)為區(qū)間[﹣1,1]上的一組正交函數(shù),給出三組函數(shù): ①f(x)=sin x,g(x)=cos x;
②f(x)=x+1,g(x)=x﹣1;
③f(x)=x,g(x)=x2 ,
其中為區(qū)間[﹣1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是(
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】f(x)是定義在D上的函數(shù),若存在區(qū)間[m,n]D,使函數(shù)f(x)在[m,n]上的值域恰為[km,kn],則稱函數(shù)f(x)是k型函數(shù).給出下列說(shuō)法:①f(x)=3﹣ 不可能是k型函數(shù); ②若函數(shù)y=﹣ x2+x是3型函數(shù),則m=﹣4,n=0;
③設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2x2+x(x≤0)是k型函數(shù),則k的最小值為
④若函數(shù)y= (a≠0)是1型函數(shù),則n﹣m的最大值為
下列選項(xiàng)正確的是(
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力,某校組織了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng),如圖,假設(shè)待測(cè)量的樹(shù)木AE的高度H(m),垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β(D,C,E三點(diǎn)共線),試根據(jù)上述測(cè)量方案,回答如下問(wèn)題:

(1)若測(cè)得α=60°、β=30°,試求H的值;
(2)經(jīng)過(guò)分析若干次測(cè)得的數(shù)據(jù)后,大家一致認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到樹(shù)木的距離d(單位:m),使α與β之差較大時(shí),可以提高測(cè)量精確度.
若樹(shù)木的實(shí)際高度為8m,試問(wèn)d為多少時(shí),α﹣β最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若過(guò)定點(diǎn)M(﹣1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2﹣5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn),則k的取值范圍是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)的離心率為 ,過(guò)焦點(diǎn)垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),求證:OA⊥OB.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】數(shù)列{an}滿足
(1)計(jì)算a1 , a2 , a3 , a4
(2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

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同步練習(xí)冊(cè)答案