【題目】橢圓的離心率是,過點做斜率為的直線,橢圓與直線交于兩點,當直線垂直于軸時.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當變化時,在軸上是否存在點,使得是以為底的等腰三角形,若存在求出的取值范圍,若不存在說明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)見解析。
【解析】
(Ⅰ)由橢圓的離心率為得到,于是橢圓方程為.有根據(jù)題意得到橢圓過點,將坐標代入方程后求得,進而可得橢圓的方程.(Ⅱ)假設存在點,使得是以為底的等腰三角形,則點為線段AB的垂直平分線與x軸的交點.由題意得設出直線的方程,借助二次方程的知識求得線段的中點的坐標,進而得到線段的垂直平分線的方程,在求出點的坐標后根據(jù)基本不等式可求出的取值范圍.
(Ⅰ)因為橢圓的離心率為,
所以,整理得.
故橢圓的方程為.
由已知得橢圓過點,
所以,解得,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)由題意得直線的方程為.
由消去整理得,
其中.
設,的中點
則,
所以
∴,
∴點C的坐標為.
假設在軸存在點,使得是以為底的等腰三角形,
則點為線段的垂直平分線與x軸的交點.
①當時,則過點且與垂直的直線方程,
令,則得.
若,則,
∴.
若,則,
∴.
②當時,則有.
綜上可得.
所以存在點滿足條件,且m的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某保險公司對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品,每年每位職工只要交少量保費,發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金,保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為三類工種,從事這三類工種的人數(shù)分別為12000,6000,2000,由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表(并以此估計賠付概率):
已知三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元,出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元,保險公司在開展此項業(yè)務過程中的固定支出為每年10萬元.
(1)求保險公司在該業(yè)務所或利潤的期望值;
(2)現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇:
方案1:企業(yè)不與保險公司合作,職工不交保險,出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工,企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元;
方案2:企業(yè)與保險公司合作,企業(yè)負責職工保費的70%,職工個人負責保費的30%,出險后賠償金由保險公司賠付,企業(yè)無額外專項開支.
請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.
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【題目】費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點。當三角形三個內(nèi)角均小于時,費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角,即該點所對的三角形三邊的張角相等均為。根據(jù)以上性質(zhì),函數(shù)的最小值為__________.
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【題目】已知數(shù)列滿足,且,點在二次函數(shù)的圖象上.
(1)試判斷數(shù)列是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列?若是,請說明你的理由;
(2)記,求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出通項公式;
(3)在數(shù)列中依據(jù)某種順序從左至右取出其中的項,…,把這些項重新組成一個新數(shù)列,….若數(shù)列是首項為、公比為的無窮等比數(shù)列,且數(shù)列各項的和為,求正整數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方形上連接等腰直角三角形,直角三角形上再連接正方形……如此無限重復下去,設正方形面積為,三角形面積為.當?shù)谝粋正方形的邊長為2時,則這些正方形和三角形的面積的總和為______.
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【題目】已知橢圓E:的離心率為,且過點
求橢圓E的方程;
設直線與橢圓E交于A、B兩點,與x軸、y軸分別交于C、D兩點且C、D在A、B之間或同時在A、B之外問:是否存在定值k,使得的面積與的面積總相等,若存在,求k的值,并求出實數(shù)m取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某賓館有50個房間供游客居住,當每個房間定價為每天180元時,房間會全部住滿;房間單價增加10元,就會有一個房間空閑,如果游客居住房間,賓館每間每天需花費20元的各種維護費用.房間定價多少時,賓館利潤最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設四邊形為矩形,點為平面外一點,且平面,若,.
(1)求與平面所成角的大;
(2)在邊上是否存在一點,使得點到平面的距離為,若存在,求出的值,若不存在,請說明理由;
(3)若點是的中點,在內(nèi)確定一點,使的值最小,并求此時的值.
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