設(shè)雙曲線C1的方程為數(shù)學(xué)公式(a>0,b>0),A、B為其左、右兩個頂點,P是雙曲線C1上的任意一點,作QB⊥PB,QA⊥PA,垂足分別為A、B,AQ與BQ交于點Q.
(1)求Q點的軌跡C2方程;
(2)設(shè)C1、C2的離心率分別為e1、e2,當數(shù)學(xué)公式時,求e2的取值范圍.

解:(1)如圖,設(shè)P(x0,y0),Q(x,y),A(-a,0),B(a,0),QB⊥PB,QA⊥PA,

兩式相乘得:
,∴=,代入①得b2y2=x2a2-a4,即a2x2-b2y2=a4
經(jīng)檢驗,點(-a,0),(a,0)不合題意,因此Q點的軌跡方程是a2x2-b2y2=a4(點(-a,0),(a,0)除外).
(2)由(1)得C2的方程為.,
,∴e≤1+=2,
∴1<e≤
分析:(1)欲求Q點的軌跡C2方程,設(shè)Q(x,y),即求出Q點的坐標之間的關(guān)系式,再設(shè)P(x0,y0),A(-a,0),B(a,0),利用QB⊥PB,QA⊥PA,直線的斜率之積為-1,即可建立Q點的坐標之間的關(guān)系式,從而得出Q點的軌跡C2方程;
(2)由(1)得C2的方程為,利用其幾何性質(zhì)求出離心率,得出與e1的關(guān)系式,最后根據(jù)e1的范圍即可得出e2的取值范圍.
點評:本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、直線垂直的條件、不等式、點的軌跡方程等基本知識,考查化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)雙曲線C1的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),A、B為其左、右兩個頂點,P是雙曲線C1上的任意一點,作QB⊥PB,QA⊥PA,垂足分別為A、B,AQ與BQ交于點Q.
(1)求Q點的軌跡C2方程;
(2)設(shè)C1、C2的離心率分別為e1、e2,當e1
2
時,求e2的取值范圍.

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設(shè)雙曲線C1的方程為,AB為其左、右兩個頂點,P是雙曲線C1上的任意一點,引QBPB,QAPA,AQBQ交于點Q.

(Ⅰ)求Q點的軌跡方程;

(Ⅱ)設(shè)(I)中所求軌跡為C2,C1C2

的離心率分別為e1、e2,當時,e2的取值范圍.

 

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設(shè)雙曲線C1的方程為,A、B為其左、右兩個頂點,P是雙曲線C1上的任意一點,引QB⊥PB,QA⊥PA,AQ與BQ交于點Q.

(1)求Q點的軌跡方程;

(2)設(shè)(I)中所求軌跡為C2,C1、C2

的離心率分別為e1、e2,當時,e2的取值范圍.

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設(shè)雙曲線C1的方程為(a>0,b>0),A、B為其左、右兩個頂點,P是雙曲線C1上的任意一點,作QB⊥PB,QA⊥PA,垂足分別為A、B,AQ與BQ交于點Q.
(1)求Q點的軌跡C2方程;
(2)設(shè)C1、C2的離心率分別為e1、e2,當時,求e2的取值范圍.

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