Question

已知在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，a²+b²-6abcosC=0，且sin²C=2sinAsinB．（1）求角C的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx-

2π

3

）-cosωx（ω＞0），且f（x）兩個相鄰的最低點之間的距離為

π

2

，求f（A）的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理與余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；
（2）化簡函數(shù)，利用周期確定ω，進而可得函數(shù)的解析式，即可求f（A）的取值范圍．

解答： 解：（1）∵sin²C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c²=2ab，
由余弦定理有：a²+b²=c²+2abcosC=c²（1+cosC）①
又a²+b²=6abcosC=3c²cosC②
由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=

1

2

，
又0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）f（x）=cos（ωx-

2π

3

）-cosωx=sin（ωx-

π

6

）-cosωx=

3

sin（ωx-

π

3

）
∵f（x）圖象上相鄰兩低點之間的距離為

π

2

，
∴T=

π

2

，
∴

2π

ω

=

π

2

，
∴ω=4，
∴f（x）=

3

sin（4x-

π

3

），
∴f（A）=

3

sin（4A-

π

3

），
∵C=

π

3

，∴

π

6

＜A＜

π

2

，∴

π

3

＜4A-

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤sin（4A-

π

3

）≤1，
∴-

3

≤f（A）≤

3

．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．