Question

已知在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=31，S_n是它的前n項(xiàng)和，S₁₀=S₂₂．
（1）求S_n；
（2）這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個(gè)最大值．
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公差即可求S_n；
（2）法1：求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，法2：求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解．
（3）求出數(shù)列{|a_n|}的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀，S₂₂=a₁+a₂+…+a₂₂，又S₁₀=S₂₂，
∴a₁₁+a₁₂+…+a₂₂=0，又a₁=31，
解得d=-2，
則S_n=na1+

n(n-1)

2

d=31n-n(n-1)=32n-n²．
（2）法一：由（1）知S_n=32n-n²，故當(dāng)n=16時(shí)，S_n有最大值，S_n的最大值是256．
法二：由（1）知：an=31+(n-1)(-2)=-2n+33(n∈N*)⇒a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈＞…
∴，當(dāng)且僅當(dāng)n=16時(shí)，S_n有最大值，S_n的最大值是S16=32×16-162=256
（3）由（1）知：an=31+(n-1)(-2)=-2n+33(n∈N*)
數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
①當(dāng)n≤16時(shí)，有Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=Sn=32n-n2；
②當(dāng)n≥17時(shí)，有T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a₁₆-a₁₇-a₁₈-…-a_n=S16-(Sn-S16)=-Sn+2S16=n2-32n+512．
綜上Tn=

32n-n2， n≤16 n2-32n+512 ， n≥17

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．