(2005•南匯區(qū)一模)(理)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,AB=5,BC=2,AD=8,異面直線AC1與A1D互相垂直.
(1)求直棱柱棱AA1的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)M在線段A1D上,AM⊥A1D,求直線AD與平面AMC1所成的角的大。
分析:(1)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到有關(guān)向量的坐標(biāo),再利用異面直線AC1與A1D互相垂直,
AC1
A1D
,即
AC1
A1D
=0
,進(jìn)而得到答案.
(2)由(1)可得
A1D
AC1
=0,即A1D⊥AC1,再結(jié)合題意可得:A1D⊥平面AC1M,可得∠MAD即為直線AD與平面AMC1所成的角,再利用題中的條件與解三角形的有關(guān)知識(shí)可得答案.
解答:解:(1)因?yàn)樵谥彼睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中,∠BAD=90°,
所以AD,AB,AA1三條直線兩兩垂直,
所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)以AB、AD、AA1所在直線分別x軸、y軸、Z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)棱AA1的長(zhǎng)為a,(a>0)
則有A (0,0,0),B (5,0,0),C(5,2,0),D(0,8,0),A1(0,0,a),B1(5,0,a),C1(5,2,a),D1(0,8,a),
AC1
=(5,2,a)
,
A1D
=(0,8,-a)
,(3分)
又因?yàn)楫惷嬷本AC1與A1D互相垂直,
所以
AC1
A1D
,即
AC1
A1D
=0
,(6分)
所以可得:a=4,
故棱AA1的長(zhǎng)為4.(8分)
(2)由(1)知
A1D
=(0,8,-4),
AC1
=(5,2,4),
所以
A1D
AC1
=0,即A1D⊥AC1
又因?yàn)锳M⊥A1D,AM∩AC1=A,
所以A1D⊥平面AC1M,
所以∠MAD即為直線AD與平面AMC1所成的角.(10分)
因?yàn)锳A1=4,AD=8,AM⊥A1D,
所以AM=
8
5
5
,
所以cos∠MAD=
AM
AD
=
8
5
5
8
=
5
5
(12分)
所以直線AD與平面AMC1所成的角的大小是arccos
5
5
.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用向量證明線線垂直,進(jìn)而得到線面垂直,并且考查了線面角的求解,解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與向量之間的有關(guān)運(yùn)算.
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5
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