Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

．
（Ⅰ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的余弦值；[注：側(cè)棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱]．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求平面的法向量，利用向量法即可求出二面角A-A₁C-B的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得sin∠ACD=

1

2

，即∠ACB=

π

6

，
∴AB⊥AC，
以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），A₁（0，0，2

3

），B（2，0，0），C（0，2

3

，0），
則

AB

=（2，0，0），

A1C

=（0，2

3

，-2

3

），
∴

AB

•

A1C

=0，即AB⊥A₁C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

A1B

=(2，0，-2

3

)，
設(shè)A₁CB的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • A1B =2x-2 3 z=0 n • BC =-2x+2 3 y=0

，
令x=

3

，則y=1，z=1，則

n

=(

3

，1，1)，
又∵平面AA₁C的一個(gè)法向量為

m

=（1，0，0），
設(shè)二面角A-A₁C-B的大小為θ，
則cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

3

5

=

15

5

，
故二面角A-A₁C-B的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間向量法應(yīng)用，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量是解決二面角的基本方法．