Question

（1）已知向量

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，

π

2

）．求sinθ和cosθ的值；
（2）已知非零向量

a

，

b

滿足|

a

|=1，（

a

-

b

）•（

a

+

b

）=

1

2

，且

a

•

b

=

1

2

．求向量

a

-

b

的模．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)向量

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，可得

a

•

b

=sin θ-2cos θ=0，再自用平方關(guān)系式求出sinθ和cosθ的值；
（2）先求向量

a

-

b

的模的平方，然后再開方求模長．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=sin θ-2cosθ=0，
即sinθ=2cosθ．又∵sin²θ+cos²θ=1，
∴4cos²θ+cos²θ=1，即cos²θ=

1

5

，
∴sin²θ=

4

5

．又θ∈（0，

π

2

），
∴sin θ=

2 5

5

，cos θ=

5

5

．…（7分）
（2）|

a

-

b

|²=（

a

-

b

）²
=|

a

|²-2|

a

||

b

|cos θ+|

b

|²=

1

2

，
∴|

a

-

b

|=

2

2

..…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積及模長，數(shù)量積有兩種運(yùn)算方式，一種是坐標(biāo)運(yùn)算，一種是幾何運(yùn)算，根據(jù)題設(shè)選擇適當(dāng)?shù)男问竭M(jìn)行運(yùn)算．