Question

如圖，已知ABCD為平行四邊形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，點E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD與EF相交于N．現(xiàn)將四邊形ADEF沿EF折起，折后如圖滿足平面ABCD⊥平面BCEF．
（Ⅰ）求證：BD⊥EF；
（Ⅱ）求三棱錐D-NBF的體積；

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證BD⊥EF，只需證EF⊥BD所在的平面BND，由已知，易得BD⊥EF，根據(jù)折疊問題的性質(zhì)，折疊后EF⊥DN，EF⊥BN，則可證EF⊥面BND，即可證EF⊥BD；
（2）由已知，V_{三棱錐D-NBF}=

1

3

S_△NBF•？，結(jié)合第一問，實際上可以判斷BD垂直于面NBF，且△NBF，△BND都是直角三角形，則不難求出三棱錐D-NBF的體積．

解答： 解：（Ⅰ）由BD⊥AD，EF∥BC，
得 BN⊥EF，DN⊥EF，
由BN交DN于N，
所以EF⊥平面DNB，
所以EF⊥BD；         
（II）由EF⊥BD，EF∥BC，
則BD⊥BC，在Rt△NBF中，F(xiàn)N=

1

3

EF=

1

3

AD，
又∵在Rt△ABD中，∠A=60°，AB=6，
∴AD=3，∴BF=2，NF=1，BD=3

3

，
BN=

3

，DN=2

3

，∴S_△NBF=

3

2

，
因為平面ABCDCH⊥平面BCEF，
∴BD⊥平面BCF，
∴D到平面BNF的距離等于BD，
而在Rt△NBD中，BD=

ND2-NB2

=3
V三棱錐D-NBF=

1

3

S△NBF•BD=

1

3

•

3

2

•3=

3

2

，
即所求三棱錐的體積為

3

2

．

點評：空間垂直關(guān)系的證明，主要利用轉(zhuǎn)化思想，本題就是利用折疊后仍然有EF⊥ND，EF⊥NB，完成EF⊥面NBD的證明；而三棱錐體積的計算問題，依據(jù)公式確定底面與高，原則是充分利用垂直關(guān)系找“高”，所以第二問的核心就是BD⊥面NBF．