Question

（2009•崇明縣二模）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（0，-

2

），且其右焦點到直線y-x-2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓C的軌跡方程；
（2）若A、B是橢圓C上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點M，則稱弦AB是點M的一條“相關(guān)弦”，如果點M的坐標為M（

1

2

，0），求證：點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線上；
（3）對于問題（2），如果點M坐標為M（t，0），當t滿足什么條件時，點M（t，0）存在無窮多條“相關(guān)弦”，并判斷點M的所有“相關(guān)弦”的中點是否在同一條直線上．

Answer 1

分析：（1）由c=

2

，a=2，能求出橢圓C的標準方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P₀（x₀，y₀），

AB

=(x2-x1，y2-y1)，

P0M

=(

1

2

-x0，-y0)，由于

AB

⊥

P0M

，所以(x2-x1)(

1

2

-x0)+(y2-y1)(-

y

0

)=0，則x₁²+2y₁²，x₂²+2y₂²．所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能導出點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線x=1上．
另解：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，k≠0，設(shè)AB中點為P₀（x₀，y₀）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），

y=kx+b x2 4 + y2 2 =1

消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，x0=

x1+x2

2

=

-2kb

2k2+1

，y0=

y1+y2

2

=

b

2k2+1

，直線AB的中垂線方程為y-

b

2k2+1

=-

1

k

(x-

2kb

2k2+1

)．由此能導出“相關(guān)弦”AB的中點在同一直線x=1上．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P₀（x₀，y₀），

AB

=(x2-x1，y2-y1)，

P0M

=(t-x0，-y0)
由于

AB

⊥

P0M

，所以（x₂-x₁）（t-x₀）+（y₂-y₁）（-y₀）=0，則x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²．所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．由此能導出當-1＜t＜1點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線x=2t上．

解答：解：（1）∵c=

2

，a=2
∴橢圓C的標準方程：

x2

4

+

y2

2

=1
（2）解法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P₀（x₀，y₀）

AB

=(x2-x1，y2-y1)，

P0M

=(

1

2

-x0，-y0)
由于

AB

⊥

P0M

，所以(x2-x1)(

1

2

-x0)+(y2-y1)(-

y

0

)=0（Ⅰ）
則x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②兩式相減得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ）

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x₀=1
因此：點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線x=1上．
解法二：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，k≠0，設(shè)AB中點為P₀（x₀，y₀）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

y=kx+b x2 4 + y2 2 =1

消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0x0=

x1+x2

2

=

-2kb

2k2+1

，y0=

y1+y2

2

=

b

2k2+1

直線AB的中垂線方程為y-

b

2k2+1

=-

1

k

(x-

2kb

2k2+1

)
把點M(

1

2

，0)代入得0-

b

2k2+1

=-

1

k

(

1

2

-

2kb

2k2+1

)
可知

kb

2k2+1

=-

1

2

所以Q的橫坐標x0=

x1+x2

2

=

-2kb

2k2+1

=1
即“相關(guān)弦”AB的中點在同一直線x=1上．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P₀（x₀，y₀）

AB

=(x2-x1，y2-y1)，

P0M

=(t-x0，-y0)
由于

AB

⊥

P0M

，所以（x₂-x₁）（t-x₀）+（y₂-y₁）（-y₀）=0（Ⅰ）
則x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②兩式相減得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ）

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x₀=2t-2＜2t＜2
因此：當-1＜t＜1點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線x=2t上．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．