(2009•崇明縣二模)設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一個頂點坐標(biāo)為A(0,-
2
),且其右焦點到直線y-x-2
2
=0
的距離為3.
(1)求橢圓C的軌跡方程;
(2)若A、B是橢圓C上的不同兩點,弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點M,則稱弦AB是點M的一條“相關(guān)弦”,如果點M的坐標(biāo)為M(
1
2
,0
),求證點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線上;
(3)根據(jù)解決問題(2)的經(jīng)驗與體會,請運(yùn)用類比、推廣等思想方法,提出一個與“相關(guān)弦”有關(guān)的具有研究價值的結(jié)論,并加以解決.(本小題將根據(jù)所提出問題的層次性給予不同的分值)
分析:(1)根據(jù)橢圓的焦點在x軸上,可知)b=
2
,根據(jù)右焦點到直線y-x-2
2
=0
的距離為3,可得c=
2
,從而可求a=2,故可得橢圓C的軌跡方程;
(2))設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),中點為P0(x0,y0
AB
=(x2-x1,y2-y1)
P0M
=(
1
2
-x0,-y0)

由于
AB
P0M
,所以(x2-x1)(
1
2
-x0)+(y2-y1)(-
y
 
0
)=0
,利用點在橢圓上,有(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0,由此能導(dǎo)出點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線x=1上.
(3)橢圓到一般,點到一般即可得結(jié)論:若A、B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0))上的不同兩點.弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點M,則稱弦AB是點M的一條“相關(guān)弦”,如果點M的坐標(biāo)為M(t,0),當(dāng)-
a2-b2
a
<t<
a2-b2
a
時,證明:點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線上.
解答:解:(1)b=
2

根據(jù)右焦點到直線y-x-2
2
=0
的距離為3,可得c=
2
,∴a=2
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:
x2
4
+
y2
2
=1

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),中點為P0(x0,y0
AB
=(x2-x1y2-y1)
,
P0M
=(
1
2
-x0,-y0)

由于
AB
P0M
,所以(x2-x1)(
1
2
-x0)+(y2-y1)(-
y
 
0
)=0
(Ⅰ)
則x12+2y12①x22+2y22②.
由①②兩式相減得:x12-x22+2y12-2y22=0
即(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0(Ⅱ)
由(Ⅰ),(Ⅱ)得:x0=1
因此:點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線x=1上.
(3)橢圓到一般,點到一般
 若A、B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0))上的不同兩點.弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點M,則稱弦AB是點M的一條“相關(guān)弦”,如果點M的坐標(biāo)為M(t,0),當(dāng)-
a2-b2
a
<t<
a2-b2
a
時,證明:點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線上.
點評:本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題,主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,考查點差法,同時考查學(xué)生探究能力,有一定的難度.
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-2
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lim
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2an+bn
=
1
2
1
2

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