對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a、b,記max{a,b}=
a(a≥b)
b(a<b)
.設(shè)F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中g(shù)(x)=
1
3
x
,y=f(x)是奇函數(shù).當(dāng)x≥0時(shí),y=f(x)的圖象與g(x)的圖象如圖所示.則下列關(guān)于函數(shù)y=F(x)的說(shuō)法中,正確的是( 。
分析:先由圖象觀察求出當(dāng)x>0時(shí)的表達(dá)式f(x)=a(x-1)2-2,其中a>0,不妨取a=1;因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0;當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=-(x+1)2+2.因此,f(x)=
(x-1)2-2 ,當(dāng)x>0時(shí)
0,  當(dāng)x=0時(shí)
-(x+1)2+2,  當(dāng)x<0時(shí)
,分別畫(huà)出y=f(x)及y=g(x)的圖象,即可得出函數(shù)y=F(x)的圖象及表達(dá)式,進(jìn)而可求出函數(shù)y=F(x)的有關(guān)性質(zhì).
解答:解:當(dāng)x>0時(shí),由圖象可知:函數(shù)y=f(x)是二次函數(shù)的一部分,并且知道頂點(diǎn)為(1,-2),不妨取a=1,可得f(x)=(x-1)2-2;
∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),∴當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-(x+1)2+2;易知f(0)=0;
f(x)=
(x-1)2-2 ,當(dāng)x>0時(shí)
0,  當(dāng)x=0時(shí)
-(x+1)2+2,  當(dāng)x<0時(shí)

分別畫(huà)出y=f(x)及y=g(x)的圖象,
①當(dāng)x>0時(shí),由(x-1)2-2=
1
3
x
,解得x=
7+
85
6
;
②當(dāng)x<0時(shí),由-(x+1)2+2=
1
3
x
,解得x=
-7-
85
6
;
由F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),可得函數(shù)F(x)的圖象及表達(dá)式
F(x)=
(x-1)2-2  ,當(dāng)x>
7+
85
6
時(shí)
1
3
x  ,當(dāng)0≤x≤
7+
85
6
或x≤
-7-
85
6
時(shí)
-(x+1)2+2  ,當(dāng)
-7-
85
6
<x<0時(shí)
,
1°當(dāng)x>
7+
85
6
時(shí),顯然F(x)=(x-1)2-2單調(diào)遞增,故此時(shí)無(wú)最大值;
2°當(dāng)0≤x≤
7+
85
6
時(shí),F(xiàn)(x)=
1
3
x
單調(diào)遞增,所以0≤F(x)≤
7+
85
18
;
3°當(dāng)
-7-
85
6
<x<0
時(shí),F(xiàn)(x)=-(x+1)2+2,有F(x)=-2x-2,令F(x)=0,則x=-1,易知,當(dāng)x=-1時(shí),F(xiàn)(x)有極大值F(-1);
4°當(dāng)x≤
-7-
85
6
時(shí),F(xiàn)(x)=
1
3
x
單調(diào)遞增,故F(x)
-7-
85
18


綜上可知:y=F(x)既無(wú)最大值,也無(wú)最小值,但有極大值F(-1),而在(-
7+
85
6
,-1]
上單調(diào)遞增,在[-1,0]上單調(diào)遞減.
故應(yīng)選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的奇偶性、分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想方法.
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(1)求f(
12
)的值
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設(shè)f(x)=λ1(
a
3
x3+
b-1
2
x2+x)+λ2x•3x(a,b∈R,a>0)

(1)當(dāng)λ1=1,λ2=0時(shí),設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),
①如果x1<1<x2<2,求證:f'(-1)>3;
②如果a≥2,且x2-x1=2且x∈(x1,x2)時(shí),函數(shù)g(x)=f'(x)+2(x-x2)的最小值為h(a),求h(a)的最大值.
(2)當(dāng)λ1=0,λ2=1時(shí),
①求函數(shù)y=f(x)-3(ln3+1)x的最小值.
②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,c,當(dāng)a+b+c=3時(shí),求證3aa+3bb+3cc≥9.

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對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a、b,記max{a,b}=
a(a≥b)
b(a<b)
.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函數(shù)y=f(x)(x∈R)是奇函數(shù),且在x=1處取得極小值-2,函數(shù)y=g(x) (x∈R)是正比例函數(shù),其圖象與x≥0時(shí)的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則下列關(guān)于函數(shù)y=F(x)的說(shuō)法中,正確的是( 。

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