Question

設(shè)f(x)=λ1(

a

3

x3+

b-1

2

x2+x)+λ2x•3x(a，b∈R，a＞0)
（1）當(dāng)λ₁=1，λ₂=0時(shí)，設(shè)x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
①如果x₁＜1＜x₂＜2，求證：f'（-1）＞3；
②如果a≥2，且x₂-x₁=2且x∈（x₁，x₂）時(shí)，函數(shù)g（x）=f'（x）+2（x-x₂）的最小值為h（a），求h（a）的最大值．
（2）當(dāng)λ₁=0，λ₂=1時(shí)，
①求函數(shù)y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值．
②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，c，當(dāng)a+b+c=3時(shí)，求證3^aa+3^bb+3^cc≥9．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)λ₁=1，λ₂=0時(shí)，由x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，且x₁＜1＜x₂＜2且a＞0得

f′(1)＜0 f′(2)＞0

．由f′（-1）=a-b+2結(jié)合a，b范圍得證．②由①設(shè)f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），得g(x)=a(x-x2)(x-x1+

2

a

)=-a(x2-x)(x-x1+

2

a

)，
用基本不等式得g(x)≥-a•(

(x2-x)+(x-x1+ 2 a )

2

)2=-(a+

1

a

+2)求得最值．
（2）①由λ₁=0，λ₂=1，f（x）=3^xx，可得y=3^xx-3（ln3+1）x．y'=3^x（ln3）•x+3^x-3（ln3+1），易知y'是單調(diào)增函數(shù)，
且x=1是它的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x=1時(shí)，求得最小值．②由①知3^xx≥3（ln3+1）x-3ln3，當(dāng)x分別取a、b、c時(shí)有：得到三個(gè)不等式，再由不等式的基本性質(zhì)得證．

解答：解：（Ⅰ）①證明：當(dāng)λ₁=1，λ₂=0時(shí)，f'（x）=ax²+（b-1）x+1，x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，
由x₁＜1＜x₂＜2且a＞0得

f′(1)＜0 f′(2)＞0

，
即

a+b＜0 4a+2b-1＞0

．
所以f′（-1）=a-b+2=-3（a+b）+（4a+2b-1）+3＞3．（3分）
②設(shè)f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以g(x)=a(x-x2)(x-x1+

2

a

)=-a(x2-x)(x-x1+

2

a

)，
易知x₂-x＞0，x-x1+

2

a

＞0，
所以g(x)≥-a•(

(x2-x)+(x-x1+ 2 a )

2

)2=-(a+

1

a

+2)
當(dāng)且僅當(dāng)x1-x=x-x1+

2

a

時(shí)，
即x=

x1+x2

2

-

1

a

=x1+1-

1

a

時(shí)取等號(hào)
所以h(a)=-(a+

1

a

+2)（a≥2）．
易知當(dāng)a=2時(shí)，h（a）有最大值，
即h(a)max=h(2)=-

9

2

．（5分）

（Ⅱ）①當(dāng)λ₁=0，λ₂=1時(shí)，f（x）=3^xx，
所以y=3^xx-3（ln3+1）x．y'=3^x（ln3）•x+3^x-3（ln3+1），容易知道y'是單調(diào)增函數(shù)，
且x=1是它的一個(gè)零點(diǎn)，即也是唯一的零點(diǎn)．
當(dāng)x＞1時(shí)，y'＞0；當(dāng)x＜1時(shí)，y'＜0，
故當(dāng)x=1時(shí)，
函數(shù)y=f（x）-3（ln3+1）x有最小值為-3ln3．（4分）
②由①知3^xx≥3（ln3+1）x-3ln3，
當(dāng)x分別取a、b、c時(shí)有：3^aa≥3（ln3+1）a-3ln3；3^bb≥3（ln3+1）b-3ln3；3^cc≥3（ln3+1）c-3ln3
三式相加即得．（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與不等式轉(zhuǎn)化與構(gòu)造以及導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題．