Question

已知a=π³，b=3^π，c=e^π，則a，b，c的大小關(guān)系為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)y=x^π的增減性判斷b＞c，再構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-3^x，判斷a＜b；最后判斷c＜a；即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵a=π³，b=3^π，c=e^π，
函數(shù)y=x^π是R上的增函數(shù)，且3＞e＞1，
∴3^π＞e^π，即b＞c＞1；
設(shè)f（x）=x³-3^x，則f（3）=0，
∴x=3是f（x）的零點(diǎn)，
∵f′（x）=3x²-3^x•ln3，
∴f′（3）=27-27ln3＜0，
f′（4）=48-81ln3＜0，
∴函數(shù)f（x）在（3，4）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f（π）＜f（3）=0，
∴π³-3^π＜0，
即π³＜3^π，
∴a＜b；
又∵e^π＜π^e＜π³，
∴c＜a；
綜上，c＜a＜b．
故答案為：c＜a＜b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．