Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n＞0，a₂=2，S₄=S₂+12，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，b₁=1，點(diǎn)（T_n+1，T_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）若數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和為B_n，不等式B_n≥m-

1

2n-2

對(duì)于n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，由s₄=s₂+12以及a₂=2，求出公比q然后求出通項(xiàng)公式，通過(guò)點(diǎn)（T_n+1，T_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，推出{

Tn

n

}是等差數(shù)列，求出Tn=

n(n+1)

2

，通過(guò)b_n=T_n-T_n-1，求解b_n．
（Ⅱ）通過(guò)錯(cuò)位相減法求出Bn=4-

n+2

2n-1

，利用不等式Bn≥m-

1

2n-2

對(duì)于n∈N^*恒成立轉(zhuǎn)化為4-

n

2n-1

≥m對(duì)于n∈N^*恒成立，求解4-

n+1

2n

的最小值，即可得到實(shí)數(shù)m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由s₄=s₂+12得s4-s2=a3+a4=a2q+a2q2=12，
又a₂=2，q²+q-6=0
解得：q=2或q=-3（舍）故an=2n-1
因點(diǎn)點(diǎn)（T_n+1，T_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，所以

Tn+1

n+1

-

Tn

n

=

1

2

，
故{

Tn

n

}是以

T1

1

=1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，則

Tn

n

=1+

1

2

(n-1)，
則Tn=

n(n+1)

2

n≥2時(shí)，bn=Tn-Tn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，b₁=1滿足該式，
故b_n=n
（Ⅱ）Bn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，則

1

2

Bn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

兩式相減得(1-

1

2

)Bn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

所以Bn=4-

n+2

2n-1

不等式Bn≥m-

1

2n-2

對(duì)于n∈N^*恒成立　即4-

n+2

2n-1

≥m-

1

2n-2

則4-

n

2n-1

≥m對(duì)于n∈N^*恒成立
那么m的最大值即為4-

n

2n-1

的最小值
由4-

n+1

2n

-(4-

n

2n-1

)=

n-1

2n

知
當(dāng)n=1或2時(shí)4-

n

2n-1

的最小值為3，
所以實(shí)數(shù)m的最大值為3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，函數(shù)的最值，數(shù)列求和，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．