Question

關于函數(shù)y=f（x），有下列命題：
①若a∈[-2，2]，則函數(shù)f（x）=

x2+ax+1

的定義域為R；
②若f（x）=log

1

2

（x²-3x+2），則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

3

2

）；
③函數(shù)f(x)=loga(x+

a

x

-4)(a＞0且a≠1)的值域為R，則實數(shù)a 的取值范圍是0＜a≤4且a≠1；
④定義在R上的函數(shù)f（x），若對任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x） 則4是y=f（x）的一個周期．
其中真命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用被開方數(shù)為非負數(shù)，可得x²+ax+1≥0，根據(jù)當a∈[-2，2]時，△=a²-4≤0，可知結(jié)論正確；
②確定函數(shù)的定義域，內(nèi)函數(shù)的對稱軸，即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
③函數(shù)f(x)=loga(x+

a

x

-4)(a＞0且a≠1)的值域為R，則真數(shù)可以取到一切正實數(shù)；
④先確定f（2+x）=f（-x），f（2-x）=f（x），進而可得f（2+x）=f（2-x），即f（4+x）=f（x），故可得結(jié)論．

解答：解：①f（x）=

x2+ax+1

的定義域為{x|x²+ax+1≥0}，設t=x²+ax+1，當a∈[-2，2]時，△=a²-4≤0，∴x²+ax+1≥0的解集是R，故函數(shù)f（x）=

x2+ax+1

的定義域為R，故①正確；
②f（x）=log

1

2

（x²-3x+2）的定義域是{x|x²-3x+2＞0}，即{x|x＜1，或x＞2}，對稱軸是x=

3

2

，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1），故②不正確；
③函數(shù)f(x)=loga(x+

a

x

-4)(a＞0且a≠1)的值域為R，則真數(shù)可以取到一切正實數(shù)，所以2

a

-4≤0，所以實數(shù)a 的取值范圍是0＜a≤4且a≠1，故③正確；
④∵對任意的x∈R都有：f（1+x）=f（1-x），∴f（2+x）=f（-x），f（2-x）=f（x），∵f（-x）=-f（x），∴f（2+x）=f（2-x）
∴f（4+x）=f（x），∴4是y=f（x）的一個周期．
綜上知，正確命題的序號為：①③④
故答案為：①③④

點評：本題考查命題的真假的判斷和應用，是中檔題．解題時要認真審題，注意函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域和周期性的合理運用．