Question

20．某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點．
（1）根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖（不寫畫法，但圖應(yīng)虛實分明，顏色勿淺）；
（2）對于該幾何體，試求兩異面直線AG與CD所成角的大小；
（3）對于該幾何體，試求$\frac{{V}_{C-GAB}}{{V}_{P-ABCD}}$的值．

Answer 1

分析 （1）幾何體為正四棱錐，做出直觀圖即可；
（2）利用勾股定理求出棱錐的側(cè)棱長，即可得出∠GAB=30°．

解答 解：（1）該幾何體的直觀圖如圖所示：

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∴∠GAB為異面直線AG，CD所成的角，
∵正四棱錐的底面邊長為2，高為$\sqrt{2}$，
∴棱錐的側(cè)棱長為$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=2，
∴△PAB為等邊三角形，
∴∠GAB=30°，即異面直線AG與CD所成角為30°．
（3）∵G是PB的中點，∴V_C-GAB=V_G-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴$\frac{{V}_{C-GAB}}{{V}_{P-ABCD}}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了棱錐的三視圖，直觀圖，棱錐的體積計算，屬于中檔題．