Question

8．已知C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，P、Q為其上兩動點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，且A到上頂點(diǎn)距離$\sqrt{5}$．
（1）求C方程；
（2）若PQ過原點(diǎn)，PA、QA與y軸交于M、N，問$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$是否為定值；
（3）若PQ過右焦點(diǎn)，問其斜率為多少時，|PQ|等于短軸長．

Answer 1

分析 （1）由題意：離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A為左頂點(diǎn)，即A（-a，0），且A到上頂點(diǎn)距離$\sqrt{5}$，可得：a²+b²=5．
根據(jù)橢圓中a，b，c的關(guān)系即可求出a，b的值．可得C方程．
（2）由題意：P、Q為其上兩動點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，PQ過原點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性，可知P，Q坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱．設(shè)出P的坐標(biāo)，可得Q的坐標(biāo)，求出PA、QA的求出方程與y軸交于M、N的坐標(biāo)，即可得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$．
（3）利用點(diǎn)斜式設(shè)出PQ直線方程，利用弦長公式與短軸長建立等式關(guān)系求解k的值．

解答 解：（1）由題意：離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A為左頂點(diǎn)，即A（-a，0），且A到上頂點(diǎn)距離$\sqrt{5}$，
可得：a²+b²=5，
又因?yàn)閍²-b²=c²．
解得：a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$
所以C方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由題意：P、Q為其上兩動點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，PQ過原點(diǎn)，設(shè)P（x₁，y₁），根據(jù)橢圓的對稱性，可知Q
（-x₁，-y₁）
則：${k}_{AP}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，${k}_{QA}=\frac{{y}_{1}}{-2+{x}_{1}}$
可得：直線PA的方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$
直線QA的方程為：$y=\frac{{-y}_{1}}{{2-x}_{1}}$（x+2）
PA、QA的出方程與y軸交于M、N的坐標(biāo)，
令x=0，解得：M（0，$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），N（0，$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
$\overrightarrow{AM}=（2，\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$，$\overrightarrow{AN}$=（2，$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
那么：$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=4+$\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$，
∵${{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4$
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=5（常數(shù)）
所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$是定值，其定值為5．
（3）PQ過右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0），
∵k存在，
∴直線PQ方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），即$kx-y-k\sqrt{3}=0$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{kx-y-k\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，化簡整理：$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}-8\sqrt{3}{k}^{2}x+12{k}^{2}-4=0$；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$
∵弦長|PQ|等于短軸長．
可得：|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2
解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以當(dāng)PQ過右焦點(diǎn)，斜率為$±\frac{\sqrt{2}}{2}$時，|PQ|等于短軸長．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用和計算能力，綜合性強(qiáng)，計算量大，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是難題．