Question

21.

    如圖，橢圓Q：=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c，0)，過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn).

    (1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程；

    (2)若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).

    設(shè)軌跡H的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為M和N.當(dāng)θ為何值時(shí)，△MNF為—個(gè)正三角形?

Answer 1

如圖，

（1）設(shè)橢圓Q：=1上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則

由①-②得

b²(x₁-x₂)2x+a²(y₁-y₂)2y=0.

1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x₁≠x₂

得到化簡(jiǎn)得：

b²x²+a²y²-b²cx=0……（*）

2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（*）

所以點(diǎn)P的軌跡H的方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0

（2）因?yàn)檐壽EH的方程可化為：

∴M（），N（），F(xiàn)(c，0)，使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí)，

 

則，即a²=3b².

由于a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤)，

則1+cosθ+sinθ=3sinθ，得θ=2arctan(或表示為θ=arctan).