如圖,橢圓Q:(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0),過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn)

(1)       求點(diǎn)P的軌跡H的方程

(2)       在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£ ),確定q的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn),此時(shí),設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí),三角形ABD的面積最大?

解析:如圖,(1)設(shè)橢圓Q:(a>b>0)

上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),則

1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí),x1¹x2

由(1)-(2)得

b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

     

\b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)

2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí),點(diǎn)P即為點(diǎn)F,滿(mǎn)足方程(3)

故所求點(diǎn)P的軌跡方程為:b2x2+a2y2-b2cx=0

(2)因?yàn),橢圓  Q右準(zhǔn)線l方程是x=,原點(diǎn)距l(xiāng)

的距離為,由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£

=2sin(

當(dāng)q=時(shí),上式達(dá)到最大值。此時(shí)a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1

設(shè)橢圓Q:上的點(diǎn) A(x1,y1)、B(x2,y2),三角形ABD的面積

S=|y1|+|y2|=|y1-y2|

設(shè)直線m的方程為x=ky+1,代入中,得(2+k2)y2+2ky-1=0

由韋達(dá)定理得y1+y2,y1y2,

4S2=(y1-y22=(y1+y22-4 y1y2

令t=k2+1³1,得4S2,當(dāng)t=1,k=0時(shí)取等號(hào)。

因此,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí),三角形ABD的面積最大。

 

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(06年江西卷理)(12分)

如圖,橢圓Q:(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0),過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn)

(1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程

(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£ ),確定q的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn),此時(shí),設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí),三角形ABD的面積最大?

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如圖,橢圓Q:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0),過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程.
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤數(shù)學(xué)公式),確定q的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn),此時(shí),設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí),三角形ABD的面積最大?

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21.

    如圖,橢圓Q:=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P為線段AB的中點(diǎn).

    (1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程;

    (2)若在Q的方程中,令a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤Equation.3).

    設(shè)軌跡H的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為M和N.當(dāng)θ為何值時(shí),△MNF為—個(gè)正三角形?

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如圖,橢圓Q:(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0),過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程.
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤),確定q的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn),此時(shí),設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí),三角形ABD的面積最大?

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