Question

如圖，橢圓Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點為F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，
并且交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點．
（1）求點P的軌跡H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ(0＜θ≤

π

2

)．
設(shè)軌跡H的最高點和最低點分別為M和N．當(dāng)θ為何值時，△MNF為一個正三角形？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，A，B的坐標(biāo)和P的坐標(biāo)，把A，B坐標(biāo)代入橢圓的方程聯(lián)立，當(dāng)AB不垂直x軸時方程組相減整理求得的x和y的關(guān)系式，再看當(dāng)AB垂直于x軸時，點P也滿足方程，綜合可得答案．
（2）把（1）中的軌跡方程整理成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得M，N，F(xiàn)的坐標(biāo)，使△MNF為一個正三角形時，則tan

π

6

=

bc 2a

c 2

=

b

a

，求得a和b的關(guān)系，進而根據(jù)題設(shè)條件中的a和b的表達式，聯(lián)立求得θ．

解答：解：（1）設(shè)橢圓Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
上的點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設(shè)P點坐標(biāo)為P（x，y），
則

b2 x 2 1 +a2 y 2 1 =a2b2(1) b2 x 2 2 +a2 y 2 2 =a2b2(2)

1°當(dāng)AB不垂直x軸時，x₁¹x₂，
由（1）-（2）得
b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

b2x

a2y

=

y

x-c

∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）
2°當(dāng)AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）
故所求點P的軌跡方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0
（2）因為軌跡H的方程可化為：

(x- c 2 )2

a2

+

y2

b2

=(

c

2a

)2
∴M（

c

2

，

bc

2a

），N（

c

2

，-

bc

2a

），F(xiàn)（c，0），
使△MNF為一個正三角形時，
則tan

π

6

=

bc 2a

c 2

=

b

a

，即a²=3b²．
由于a²=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ(0＜θ≤

π

2

)，
則1+cosq+sinq=3sinθ，
得θ=arctan

4

3

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．