【題目】已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.
(1)求曲線的方程;
(2)過點且斜率為的直線交曲線于, 兩點,若,當時,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)由題意得曲線是以F(0,1)為焦點,以y=﹣1為準線的拋物線,進而可得其方程為。(2)設直線為y=kx+1,代入拋物線方程消去y可得,設A(x1,y1),B(x2,y2),則,由得,又,可構造,由函數(shù)的單調性可得,即,解得。即為所求。
試題解析:
(1)由題意得動點P(x,y)到F(0,1)的距離等于它到直線y=﹣1的距離,
∴ 動點P的軌跡是以F(0,1)為焦點,以y=﹣1為準線的拋物線,
設其方程為,
由條件得.
∴ 曲線的標準方程為;
(2)由題意設直線的方程為y=kx+1,
由消去y整理得,
∵ 直線與拋物線相交,
∴,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則,
∵,即,
∴,
∴,
由可得
,
即,
∵,∴。
設 ,則函數(shù)在上單調遞減。
∴,即。
由得,滿足。
∴的取值范圍為。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某算法的程序圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,…,30這30個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生.
(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i=1,2,3);
(2)甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù),下面是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù): 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)
運行次數(shù) | 輸出y=1的頻數(shù) | 輸出y=2的頻數(shù) | 輸出y=3的頻數(shù) |
50 | 24 | 19 | 7 |
… | … | … | … |
2000 | 1027 | 776 | 197 |
乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)
運行次數(shù) | 輸出y=1的頻數(shù) | 輸出y=2的頻數(shù) | 輸出y=3的頻數(shù) |
50 | 26 | 11 | 13 |
… | … | … | … |
2000 | 1051 | 396 | 553 |
當n=2000時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示),并判斷甲、乙中誰所編寫的程序符合算法要求的可能性較大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,在矩形中, , 是的中點,將三角形沿翻折到圖②的位置,使得平面平面.
(Ⅰ)在線段上確定點,使得平面,并證明;
(Ⅱ)求與所在平面構成的銳二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和Sn , 若a3+a7﹣a10=8,a11﹣a4=4,則S13等于( )
A.152
B.154
C.156
D.158
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸,焦距為2,且長軸長是短軸長的倍.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設,過橢圓左焦點的直線交于、兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式()恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取名學生作為樣本,得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
10 | 0.25 | |
25 | ||
2 | 0.05 | |
合計 | 1 |
(1)求出表中及圖中的值;
(2)試估計他們參加社區(qū)服務的平均次數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人,求至少1人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,面底面,且是邊長為的等邊三角形, , 在上,且∥面BDM.
(1)求直線PC與平面BDM所成角的正弦值;
(2)求平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小.
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