【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=,AC=3, BC=2,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn).
(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角頂點(diǎn),求PA的長(zhǎng);
(2)若∠BPC=,設(shè)∠PCB=θ,求△PBC的面積S(θ)的解析式,并求S(θ)的最大值.
【答案】(1) (2)S(θ)= ,S(θ)的最大值為
【解析】試題分析:(1)在△PAC中,已知兩邊一角求第三邊,根據(jù)余弦定理可得(2)先由正弦定理用θ表示PC,再根據(jù)三角形面積公式得S(θ),利用二倍角公式以及配角公式將S(θ)化為基本三角函數(shù)形式,再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值
試題解析: 解 (1)解法一:∵P是等腰直角三角形PBC的直角頂點(diǎn),且BC=2,
∴∠PCB=,PC=,
又∵∠ACB=,∴∠ACP=,
在△PAC中,由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos=5,∴PA=.
解法二:依題意建立如圖直角坐標(biāo)系,則有C(0,0),B(2,0),A(0,3),
∵△PBC是等腰直角三角形,∠ACB=,
∴∠ACP=,∠PBC=,
∴直線PC的方程為y=x,直線PB的方程為y=-x+2,
由得P(1,1),
∴PA==,
(2)在△PBC中,∠BPC=,∠PCB=θ,
∴∠PBC=-θ,
由正弦定理得==,
∴PB=sinθ,PC=sin,
∴△PBC的面積S(θ)=PB·PCsin
=sinsinθ
=2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ-
=sin-,θ∈,
∴當(dāng)θ=時(shí),△PBC面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線, ,則下列說法正確的是( )
A. 把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
B. 把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
C. 把曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
D. 把曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐的底面是梯形,且, 平面, 是中點(diǎn), .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若, ,求直線與平面所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a1=2,an+1= Sn(n=1,2,3,…).
(1)證明:數(shù)列{ }是等比數(shù)列;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=x2-x-15,且|x-a|<1,
(1)解不等式;
(2)求證:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形,側(cè)面PAD丄底面ABCD,∠APD= . (I )求證:平面PAB丄平面PCD;
(II)如果AB=BC,PB=PC,求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知P為橢圓 =1上的一個(gè)點(diǎn),M,N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓(x﹣3)2+y2=4上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(2)求證:平面AB1E.
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