【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形,側(cè)面PAD丄底面ABCD,∠APD= . (I )求證:平面PAB丄平面PCD;
(II)如果AB=BC,PB=PC,求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.

【答案】證明:(Ⅰ)因為四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形,所以CD⊥AD, 又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,所以CD⊥PA.
又∠APD= ,即PA⊥PD,而CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD.
因為PA平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.
(Ⅱ)解:如圖,以AB為x軸,AD為y軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.
設(shè)AB=2,P(0,a,b)(a>0,b>0),
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).
由PA⊥PD, =(0,﹣a,﹣b), =(0,2﹣a,﹣b),
得﹣a(2﹣a)+b2=0.①
因為PB=PC,所以22+a2+b2=22+(2﹣a)2+b2 . ②
由①,②得a=1,b=1.
由(Ⅰ)知, =(0,﹣1,﹣1)是面PCD的一個法向量.
設(shè)面PBC的一個法向量為 =(x,y,z),則 =0, =0,
=(2,﹣1,﹣1), =(0,2,0),
所以 =(1,0,2).
因為cos< , >=﹣ ,又二面角B﹣PC﹣D為鈍角,
所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值﹣

【解析】(I)利用ABCD的底面是矩形,可得CD⊥AD,再利用面面垂直的性質(zhì)及側(cè)面PAD⊥底面ABCD,可得CD⊥PA.由已知可得PA⊥PD,進而得到PA⊥平面PCD.利用面面平行的判定定理即可證明平面PAB⊥平面PCD.(II)如圖,以AB為x軸,AD為y軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

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