【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過、、三點.

1)求橢圓的方程;

2)若直線)與橢圓交于兩點,證明直線與直線的交點在直線上.

【答案】1;2)詳見解析.

【解析】

試題(1)當焦點不確定在哪個軸時,可以分別討論在軸時,,代入點,當在軸時,代入點解,成立的就是橢圓方程;或直接設橢圓的一般式,代入三點的坐標解方程組;

2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,設,由根與系數(shù)的關系得到設直線的方程,直線的方程為后有三種方法,法一,當時計算交點的縱坐標,并根據(jù)直線方程與根與系數(shù)的關系證明縱坐標相等,法二是聯(lián)立直線的方程,消去后利用根與系數(shù)的關系得到交點的橫坐標等于4,法三類似于法二,只是先通過根與系數(shù)的關系先消去,得到的關系,然后再聯(lián)立兩個方程得到交點橫坐標為4

試題解析:(1)解法一:當橢圓E的焦點在x軸上時,設其方程為),

,又點在橢圓上,得.解得

橢圓的方程為

當橢圓E的焦點在y軸上時,設其方程為),

,又點在橢圓上,得

解得,這與矛盾.

綜上可知,橢圓的方程為

解法二:設橢圓方程為),

、、代入橢圓的方程,得

解得,

橢圓的方程為

2)證法一:將直線代入橢圓的方程并整理,得,

設直線與橢圓的交點,

由根與系數(shù)的關系,得,

直線的方程為:,它與直線的交點坐標為,

同理可求得直線與直線的交點坐標為

下面證明兩點重合,即證明、兩點的縱坐標相等:

,

因此結論成立.

綜上可知,直線與直線的交點在直線上.

證法二:將直線,代入橢圓的方程并整理,

,

設直線與橢圓的交點,,

由根與系數(shù)的關系,得

直線的方程為:,即

直線的方程為:,即

由直線與直線的方程消去,得

直線與直線的交點在直線上.

證法三:將直線,代入橢圓方程并整理,

,

設直線與橢圓的交點,

由根與系數(shù)的關系,得

消去得,

直線的方程為:,即

直線的方程為:,即

由直線與直線的方程消去得,

直線與直線的交點在直線上.

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