【題目】如圖,已知橢圓的離心率為,分別是橢圓的左右焦點,點是橢圓上任意一點,且.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)在直線上是否存在點Q,使以為直徑的圓經過坐標原點O,若存在,求出線段的長的最小值,若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ)存在,最小值是
【解析】
(Ⅰ) 根據(jù)橢圓的定義可得,,又離心率,可以解出,再根據(jù)求出,即可得到橢圓的標準方程;
(Ⅱ) 假設在直線上存在點,則,即,根據(jù)點如可求出點坐標,即說明存在;根據(jù)距離公式可求出,結合點是橢圓上任意一點可得,消去,由基本不等式即可求出的最小值,并求得點坐標.
(Ⅰ)設,,,則.
∵點是橢圓上任意一點,且.
∴.∴.∴.
∵,∴.
∴所求橢圓的標準方程為.
(Ⅱ)假設在直線上存在點Q,使以為直徑的圓經過坐標原點O,
則.∴.
設,,則.
∴.
當時,以為直徑的圓不經過坐標原點O.
當時,.
∴
∵點在橢圓上,∴.∴.
∴.
,當且僅當或時取等號,此時,
所以,的最小值是.
所以,在直線上存在點,使以為直徑的圓經過坐標原點O,且線段PQ的長的最小值是.
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【題目】在如圖所示的六面體中,四邊形是邊長為的正方形,四邊形是梯形,,平面平面,,.
(1)在圖中作出平面 與平面的交線,并寫出作圖步驟,但不要求證明;
(2)求證:平面;
(3)求平面與平面所成角的余弦值
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【題目】已知以橢圓:的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線:與橢圓交于異于橢圓頂點的,兩點,為坐標原點,直線與橢圓的另一個交點為點,直線和直線的斜率之積為1,直線與軸交于點.若直線,的斜率分別為,,試判斷是否為定值,若是,求出該定值;若不是,說明理由.
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【題目】“共享單車”的出現(xiàn),為我們提供了一種新型的交通方式.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵不嚴重的城市和交通擁堵嚴重的城市分別隨機調查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖如圖:
(1)根據(jù)莖葉圖,比較兩城市滿意度評分的平均值的大。ú灰笥嬎憔唧w值,給出結論即可);
(2)若得分不低于85分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”,請根據(jù)此樣本完成此列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否有的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關;
合計 | |||
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
(3)若此樣本中的城市和城市各抽取1人,則在此2人中恰有一人認可的條件下,此人來自城市的概率是多少?
(參考公式:)
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】隨著移動互聯(lián)網的發(fā)展,與餐飲美食相關的手機軟件層出不窮.為調查某款訂餐軟件的商家的服務情況,統(tǒng)計了10次訂餐“送達時間”,得到莖葉圖如下:(時間:分鐘)
(1)請計算“送達時間”的平均數(shù)與方差:
(2)根據(jù)莖葉圖填寫下表:
送達時間 | 35分組以內(包括35分鐘) | 超過35分鐘 |
頻數(shù) | A | B |
頻率 | C | D |
在答題卡上寫出,,,的值;
(3)在(2)的情況下,以頻率代替概率.現(xiàn)有3個客戶應用此軟件訂餐,求出在35分鐘以內(包括35分鐘)收到餐品的人數(shù)的分布列,并求出數(shù)學期望.
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【題目】設:實數(shù)滿足,其中;
:實數(shù)滿足.
(Ⅰ)若,且為真,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若是的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】隨著社會的進步與發(fā)展,中國的網民數(shù)量急劇增加.下表是中國從年網民人數(shù)及互聯(lián)網普及率、手機網民人數(shù)(單位:億)及手機網民普及率的相關數(shù)據(jù).
年份 | 網民人數(shù) | 互聯(lián)網普及率 | 手機網民人數(shù) | 手機網民普及率 |
2009 | ||||
2010 | ||||
2011 | ||||
2012 | ||||
2013 | ||||
2014 | ||||
2015 | ||||
2016 | ||||
2017 | ||||
2018 |
(互聯(lián)網普及率(網民人數(shù)/人口總數(shù))×100%;手機網民普及率(手機網民人數(shù)/人口總數(shù))×100%)
(Ⅰ)從這十年中隨機選取一年,求該年手機網民人數(shù)占網民總人數(shù)比值超過80%的概率;
(Ⅱ)分別從網民人數(shù)超過6億的年份中任選兩年,記為手機網民普及率超過50%的年數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;
(Ⅲ)若記年中國網民人數(shù)的方差為,手機網民人數(shù)的方差為,試判斷與的大小關系.(只需寫出結論)
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【題目】2017年5月,來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國的“新四大發(fā)明”:高鐵、掃碼支付、共享單車和網購.乘坐高鐵可以網絡購票,為了研究網絡購票人群的年齡分布情況,在5月31日重慶到成都高鐵9600名網絡購票的乘客中隨機抽取了120人進行了統(tǒng)計并記錄,按年齡段將數(shù)據(jù)分成6組:,得到如下直方圖:
(1)試通過直方圖,估計5月31日當天網絡購票的9600名乘客年齡的中位數(shù);
(2)若在調查的且年齡在段乘客中隨機抽取兩人,求兩人均來自同一年齡段的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心坐標為,且該圓經過點.
(1)求圓的標準方程;
(2)若點也在圓上,且弦長為8,求直線的方程;
(3)直線交圓于,兩點,若直線,的斜率之積為2,求證:直線過一個定點,并求出該定點坐標.
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