Question

已知函數(shù)，。
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（Ⅲ）試判斷方程（其中）是否有實數(shù)解？并說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）和（Ⅱ）（Ⅲ）沒有。理由見解析。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
（1）利用函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到結(jié)論。
（2）在第一問的基礎(chǔ)上判定極值和端點值，進而得到最值。
（3）要方程無實數(shù)解則可以利用函數(shù)沒有零點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想來判定解得。
解：（Ⅰ）因為
          1分
則有        2分
當，或時，
，此時單調(diào)遞增
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和          3分
（Ⅱ）因為，
所以
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減            4分
于是，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
此時，            5分
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
此時，。
綜上所述，            6分
（Ⅲ）方程沒有實數(shù)解
由，
得：            7分
設(shè)
則
當時，；
當時，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減             8分
所以，函數(shù)在上的最大值為
由（Ⅱ）可知，
在上的最小值為          9分
而，所以方程沒有實數(shù)解              10分