Question

5．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足b+c+d=3-a，2b²+3c²+6d²=5-a²，則a的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 由柯西不等式得（2b²+3c²+6d²）（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）≥（b+c+d）²，b+c+d=3-a，2b²+3c²+6d²=5-a²，從而得到關(guān)于a的不等關(guān)系：5-a²≥（3-a）²，求得a的取值范圍，即可求得a的最大值．

解答 解：根據(jù)柯西不等式，得（2b²+3c²+6d²）（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）≥（b+c+d）²，
當(dāng)且僅當(dāng)2b=3c=6d時(shí)，等號(hào)成立
∵a+b+c+d=3，2b²+3c²+6d²=5-a²，
∴5-a²≥（3-a）²，解得：1≤a≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)2b=3c=6d且b+c+d=1時(shí)，即當(dāng)b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{3}$，d=$\frac{1}{6}$時(shí)，a有最大值2．
故答案選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明問題，考查柯西不等式和基本不等式的應(yīng)用問題，有一定的技巧性，需要同學(xué)們對一般形式的柯西不等式非常熟練，屬于中檔題．