【題目】如圖,已知橢圓的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓,設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn)

1)求橢圓的方程;

2)求的最小值,并求此時(shí)圓的方程;

3)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于, 的任意一點(diǎn),且直線分別與軸交于點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),求證: 為定值.

【答案】(1;(2;(3,證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率以及圓的方程,求出的值,進(jìn)而可得到橢圓的方程;(2)先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),并表示出,再根據(jù), 在橢圓上,即可求出的最小值,進(jìn)而可求出此時(shí)圓的方程;(3)先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),并寫出直線的方程,進(jìn)而得到的表達(dá)式,再根據(jù)點(diǎn) 在橢圓上,即可證得為定值.

試題解析:(1)依題意,得, ;

故橢圓的方程為

2)方法一:點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,設(shè), 不妨設(shè)

由于點(diǎn)在橢圓上,所以. (*

由已知,則,,

由于,故當(dāng)時(shí), 取得最小值為

由(*)式,,故,又點(diǎn)在圓上,代入圓的方程得到

故圓的方程為:

方法二:點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,故設(shè),

不妨設(shè),由已知,則

故當(dāng)時(shí), 取得最小值為,此時(shí)

又點(diǎn)在圓上,代入圓的方程得到

故圓的方程為:

(3) 方法一:設(shè),則直線的方程為:,

,得, 同理:,

**

又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上,故,

代入(**)式,得:

所以為定值.

方法二:設(shè),不妨設(shè),,其中.則直線的方程為:,

,得

同理:,

所以為定值

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