Question

（本小題滿分16分）
如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點(diǎn)P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地．
（1）如圖甲，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為△RST，求場(chǎng)地的最大面積；
（2）如圖乙，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD，求場(chǎng)地的最大面積．

Answer 1

【解】（1）如圖，過(guò)S作SH⊥RT于H，

S_△RST=．                ……………………2分
由題意，△RST在月牙形公園里，
RT與圓Q只能相切或相離；      ……………………4分
RT左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形，
則有RT≤4，SH≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)（如下左圖），上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立．
此時(shí)，場(chǎng)地面積的最大值為S_△RST==4（km²）． ……………………6分

（2）同(1)的分析，要使得場(chǎng)地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形，
AD必須切圓Q于P，再設(shè)∠BPA=，則有
…8分
令，則
．………………11分
若，，
又時(shí)，，時(shí)，，…………………14分
函數(shù)在處取到極大值也是最大值，
故時(shí)，場(chǎng)地面積取得最大值為（km²）．………………16分

略