Question

如圖,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,設(shè)點(diǎn)E是棱PB上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)A、D、E的平面交棱PC于點(diǎn)F.

(1)求證:BC∥EF;

(2)求二面角A-PB-D的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);

(3)試確定點(diǎn)E的位置,使PC⊥平面ADFE,并說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)證明：∵BC∥AD,

∴BC∥平面AEFD.

又∵BC平面BCP,EF為平面ADE與平面BCP的交線,

∴BC∥EF.

(2)解:連結(jié)AC交BD于O,則AO⊥BD,AO⊥PD.

∴AO⊥平面PDB.作AM⊥PB于M,連結(jié)OM.

則∠AMO為二面角APBD的平面角.

設(shè)AD=1,則PD=,PA=2.

AM===,AO=.

∴sin∠AMO==.

∴∠AMO=arcsin.

(3)解:PC⊥平面ADFE,則有PC⊥DF.

∴在Rt△PDC中,=.∴=,

即E點(diǎn)落在PB上使PE∶PB=3∶1時(shí),PC⊥PF,PC⊥AD,這時(shí)PC⊥平面ADFE.