已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是菱形,∠ABC=60°,E、F分別是棱CC′與BB′上的點(diǎn),且EC=BC=2FB=2.
(1)求證:平面AEF⊥平面AA′C′C;
(2)求截面AEF與底面ABCD的夾角的大。
分析:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,證明線面垂直,進(jìn)而證明面面垂直;
(2)先確定二面角的平面角,再計(jì)算二面角的平面角即可.
解答:解:以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、OO′分別為x,y,z軸,建立直角坐標(biāo)系,
由條件知:EC=BC=2,F(xiàn)B=1,OA=1,OB=
3
,從而坐標(biāo)E(0,1,2),F(xiàn)(
3
,0,1).
(1)連接AE與OO'交于M,連接MF,
可得MO=
1
2
EC=1
,M(0,0,1),
MF
=(
3
,0,0).
則MF⊥平面yOz,即MF⊥平面A'ACC',
所以平面AEF⊥平面A'ACC'.
(2)取EC中點(diǎn)G,得平面MFG∥底面ABCD,
所以只要求面AEF與面MFG所成的二面角即可.
∵G(0,1,1),
ME
=(0,1,1)
MG
=(0,1,0)

MF
ME
=0,
MF
MG
=0

MF
ME
,
MF
MG

∴∠EMG是二面角的平面角
在Rt△MGE中,EG=1,MG=1,ME=
2
,∴∠EMG=
π
4
,∴所求角為
π
4
點(diǎn)評(píng):本題考查利用向量方法解決面面垂直、面面角,解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB=AD=1,DD1=CD=2,AB⊥AD.
(I)求證:BC⊥面D1DB;
(II)求D1B與平面D1DCC1所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥DCAB∥DC,且滿足
DC-DD1=2AD=2AB=2.
(1)求證:DB⊥平面B1BCC;
(2)求二面角A1-BD-C1的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為4的菱形,∠BAD=60°,AA1=6,P是棱AA1的中點(diǎn).求:
(1)截面PBD分這個(gè)棱柱所得的兩個(gè)幾何體的體積;
(2)三棱錐A-PBD的高.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn),M為線段AC1的中點(diǎn).
求證:
(Ⅰ)直線MF∥平面ABCD;
(Ⅱ)平面AFC1⊥平面ACC1A1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•寶山區(qū)模擬)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1體積為32,且底面四邊形ABCD為直角梯形,其中上底BC=2,下底AD=6,腰AB=2,且BC⊥AB.
(文科):
(1)求異面直線B1A與直線C1D所成角大。
(2)求二面角A1-CD-A的大。
(理科):
(1)求異面直線B1D與直線AC所成角大;
(2)求點(diǎn)C到平面B1C1D的距離.

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同步練習(xí)冊(cè)答案