Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB=AD=1，DD₁=CD=2，AB⊥AD．
（I）求證：BC⊥面D₁DB；
（II）求D₁B與平面D₁DCC₁所成角的大�。�

Answer 1

分析：法一：（I）要證BC⊥面D₁DB，只需證明直線BC垂直面D₁DB內(nèi)的兩條相交直線D₁D、DB即可；
（II）取DC中點(diǎn)E，連接BE，D₁E．說(shuō)明∠BD₁E為所求角，解三角形D₁BE，求D₁B與平面D₁DCC₁所成角的大�。�
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，
（I）計(jì)算

BC

•

DD1

=0 ， 

BC

•

DB

=0就證明了直線BC垂直面D₁DB內(nèi)的兩條相交直線D₁D、DB，從而證明BC⊥面D₁DB．
（II）求出

D1B

和平面D₁DCC₁的法向量，計(jì)算|cos＜

D1B

，

m

＞|=|

D1B • m

| D1B || m |

|，即可求D₁B與平面D₁DCC₁所成角的大小．

解答：解：解法一：
（I）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，
∴D₁D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D₁D．
∵AB∥CD，AB⊥AD．
∴四邊形ABCD為直角梯形，
又∵AB=AD=1，CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D₁D∩DB=D，
∴BC⊥平面D₁DB．（6分）
（II）取DC中點(diǎn)E，連接BE，D₁E．
∵DB=BC，
∴BE⊥CD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，
∴ABCD⊥D₁DCC₁．
∴BE⊥D₁DCC₁．
∴D₁E為D₁B在平面D₁DCC₁上的射影，
∴∠BD₁E為所求角．
在Rt△D₁BE中，BE=1，D1E=

5

．tan∠BD1E=

BE

D1E

=

5

5

．
∴所求角為arctan

5

5

．（14分）
解法二：
（I）證明：如圖建立坐標(biāo)系D-xyz，D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2）．
∴

BC

=(-1，1，0)，

DD1

=(0，0，2)，

DB

=(1，1，0)．
∵

BC

•

DD1

=0 ， 

BC

•

DB

=0，
∴BC⊥DD₁，BC⊥DB．
∵D₁D∩DB=D，
∴BC⊥平面D₁DB．（6分）
（II）

D1B

=(1，1，-2)，A(1，0，0)，

DA

=(1，0，0)．
∵AD⊥平面D₁DCC₁，
∴平面D₁DCC₁的法向量

m

=(1，0，0)，
∵|cos＜

D1B

，

m

＞|=|

D1B • m

| D1B || m |

|=

1

6 ×1

=

6

6

．
∴D₁B與平面D₁DCC₁所成角的大小為arcsin

6

6

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．