Question

已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x．

（1）求函數(shù)f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值；

（2）過點P（2，﹣6）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程．

 

Answer 1

（1）f（x）min=﹣18，f（x）max=2．

（2）y=3x或y=24x﹣54．

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，然后判斷在要求區(qū)間內(nèi)導數(shù)的正負情況，從而可得出最大值與最小值．

（2）根據(jù)導函數(shù)的定義可求出切線的斜率，然后根據(jù)點P的坐標可求出切線的方程．

【解析】
（1）f′（x）=3（x+1）（x﹣1），

當x∈[﹣3，﹣1）或x∈（1，]時，f′（x）＞0，

∴[﹣3，﹣1]，[1，]為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，

當x∈（﹣1，1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，

又∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，

所以當x=﹣3時，f（x）min=﹣18，

當x=﹣1時，f（x）max=2．

（2）由于點P不在曲線上，故設切點為（x0，y0）則切線方程為：y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）①，

又點P（2，﹣6）在此切線上，以及y0=x03﹣3x0代入①，解得：x0=0或3，

故此直線的斜率為3或24，

故可求得切線的方程為y=3x或y=24x﹣54．