【題目】如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若不過點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且=0,求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】(1)+y2=1(2)證明見解析,定點(diǎn)N.
【解析】
(1)利用直線AF與圓相切可求得a(圓心到直線的距離等于半徑),從而得橢圓方程;
(2)由=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,代入橢圓方程可求得P點(diǎn)坐標(biāo),同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo),寫出直線PQ方程,化簡后可知其所過定點(diǎn).
(1)將圓M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-1)2=3,圓M的圓心為M(3,1),半徑為r=.
由A(0,1),F(c,0)(c=)得直線AF:+y=1,即x+cy-c=0.
由直線AF與圓M相切得=.
所以c=或c=-(舍去).所以a=,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明:由=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,
由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-x+1(k≠0),
將y=kx+1代入橢圓C的方程+y2=1并整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=-,
因此P的坐標(biāo)為,即.
將上式中的k換成-,得Q.
所以直線l的方程為y=·+,
化簡得直線l的方程為y=x-.
因此直線l過定點(diǎn)N.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,。
(1)當(dāng)時,求f(x)的最大值。
(2)若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2個,求的取值范圍。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx與g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)g(x)的定義域;
(3)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】給定一個四面體,若存在一個側(cè)面(其所在平面為),使得在將其余三個側(cè)面分別繞其位于平面上的邊向體外方向旋轉(zhuǎn)至平面上時,四個側(cè)面在平面上共同組成的圖形恰好是一個三角形,則稱該四面體是一個“平展四面體”.若有一個平展四面體,它的一個側(cè)面的三邊長為a、b、c,試確定a、b、c的關(guān)系,并求該四面體的體積(用a、b、c表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi)有12個點(diǎn),其中任意三點(diǎn)不共線,每兩點(diǎn)連一條線段(或邊)。這些線段用紅、藍(lán)兩色染色,每條線段恰染一色,其中,從某點(diǎn)出發(fā)的紅色線段有奇數(shù)條,而從其余11個點(diǎn)出發(fā)的紅色線段數(shù)互不相同。求以已知點(diǎn)為頂點(diǎn)、各邊均為紅色的三角形個數(shù)及兩邊為紅色、另一邊為藍(lán)色的三角形個數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng):第一次取1;第二次取2個連續(xù)偶數(shù)2,4;第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5,7,9;第四次取4個連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;第五次取5個連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25,按此規(guī)律取下去,得到一個子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,則在這個子數(shù)中第2014個數(shù)是( )
A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989
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【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級:0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;>300為嚴(yán)重污染.一環(huán)保人士記錄了某地2020年某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示.
(1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù);(按這個月總共有30天計(jì)算)
(2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳(AQI>100)的這些天中,隨機(jī)地抽取兩天深入分析各種污染指標(biāo),求該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率.
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【題目】如圖 1,在直角梯形中, ,且.現(xiàn)以為一邊向外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直, 為的中點(diǎn),如圖 2.
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求與平面所成角的正弦值.
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【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的直角坐標(biāo)方程;
(2)若與有且僅有三個公共點(diǎn),求的方程.
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