Question

【題目】已知函數(shù)且.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，無極小值；（2）.

【解析】試題分析：（1）將代入，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而研究極值；

（2）令，即當(dāng)時(shí)， 恒成立.求導(dǎo)研究最值和0比即可.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

，

當(dāng)時(shí), ，當(dāng)時(shí)， .

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，無極小值.

（2）令，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)， 恒成立.

.

①當(dāng)時(shí)， 恒成立，

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；

②當(dāng)， 時(shí)， 恒成立，

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；

③當(dāng)時(shí)， ,恒有,故在上是減函數(shù)，于是“對(duì)任意都成立”的充要條件是，

即,解得，故.

綜上， 的取值范圍是.