【題目】已知拋物線,焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,且到的距離比到直線的距離小1.
(1)求拋物線的方程;
(2)若點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線與,切點(diǎn)分別為,求證:直線恒過某一定點(diǎn).
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線定義可得直線為拋物線的準(zhǔn)線,即得,(2)關(guān)鍵求出直線AB方程,先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線斜率,進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程,求兩切線方程交點(diǎn)可得點(diǎn)坐標(biāo),由于點(diǎn)在直線上,所以可得.最后聯(lián)立AB方程與拋物線方程,利用韋達(dá)定理得,即得直線恒過定點(diǎn).
試題解析:(1)因?yàn)?/span>到的距離與到直線的距離相等,由拋物線定義知,直線為拋物線的準(zhǔn)線,所以,得,所以拋物線的方程為.
(2)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,由(1)知, .
則切線的斜率分別為,,
故切線 的方程分別為, ,
聯(lián)立以上兩個(gè)方程,得故的坐標(biāo)為.
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以,即.
設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程,得,所以,即,所以.
故的方程為,故直線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin( x+φ),x∈R,A>0,0<φ< .y=f(x)的部分圖象如圖所示,P、Q 分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,A).點(diǎn)R的坐標(biāo)為(1,0),∠PRQ= .
(1)求f(x)的最小正周期以及解析式.
(2)用五點(diǎn)法畫出f(x)在x∈[﹣ , ]上的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在下列四個(gè)正方體中,為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直接與平面不平行的是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),證明時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一個(gè)骰子先后拋擲兩次,事件表示:“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,事件表示“第二次的點(diǎn)數(shù)不小于5”,則__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏。將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí),隨即從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖.
(Ⅰ)若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí),根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績(jī)“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)?
注:其中.
(Ⅱ)在優(yōu)秀等級(jí)的選手中取6名,依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,在良好等級(jí)的選手中取6名,依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為,在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為,求使得方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:區(qū)域A是正方形OABC(含邊界),區(qū)域B是三角形ABC(含邊界)。
(Ⅰ)向區(qū)域A隨機(jī)拋擲一粒黃豆,求黃豆落在區(qū)域B的概率;
(Ⅱ)若x,y分別表示甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù),求點(diǎn)(x,y)落在區(qū)域B的概率;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓方程,其左焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)分別為, , ,坐標(biāo)原點(diǎn)為,且線段, , 的長(zhǎng)度成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的一條直線交橢圓于點(diǎn), ,交軸于點(diǎn),使得線段被點(diǎn), 三等分,求直線的斜率.
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