Question

如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，，，，且平面平面．
(1)求與平面所成角的正弦值；
(2)線段上是否存在點，使平面平面？
證明你的結論．

Answer 1

(1) ， (2)詳見解析.

試題分析：(1)利用空間向量求線面角，關鍵求出面的一個法向量. 先由面面垂直得到線面垂直，即由平面面，得平面．建立空間直角坐標系，表示各點坐標，得 ，設平面的法向量為，則有所以  取，得．根據與平面所成的角正弦值等于與平面法向量夾角余弦值的絕對值，得到與平面所成角的正弦值為．(2) 假設線段上存在點，設 ，可求出平面的一個法向量．要使平面平面，只需，即，此方程無解，所以線段上不存在點，使平面平面．
(1)因為，，
在△中，由余弦定理可得，
所以． 又因為
平面面，所以平面．  
所以兩兩互相垂直，
如圖建立空間直角坐標系．

設，所以．
所以，，．
設平面的法向量為，則有
所以  取，得．   
設與平面所成的角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為．
(2)線段上不存在點，使平面平面．證明如下：
假設線段上存在點，設 ，所以．
設平面的法向量為，則有 
所以  取，得．
要使平面平面，只需，即，
此方程無解，所以線段上不存在點，使平面平面．