Question

已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）當時，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的最大值.

（參考數(shù)值:自然對數(shù)的底數(shù)≈）.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解法1是將函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)等價轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上恒成立，利用參數(shù)分離法得到不等式在上恒成立，并利用基本不等式求出的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是求得導數(shù)，將問題等價轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)零點分布的知識求出的取值范圍；（2）先將代入函數(shù)的解析式并求出的導數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理找出函數(shù)的極值點所存在的區(qū)間，結(jié)合條件確定的最大值.

試題解析：（1）解法1：函數(shù)的定義域為，

，.

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，即對都成立.

對都成立.

當時，，當且僅當,即時，取等號.

，即，的取值范圍為.

解法2：函數(shù)的定義域為，

，.

方程的判別式.

①當，即時，，

此時，對都成立,

故函數(shù)在定義域上是增函數(shù).

②當，即或時，要使函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，

只需對都成立.

設(shè),則，得.

故.

綜合①②得的取值范圍為；

（2）當時，.

.

函數(shù)在上存在極值，

∴方程在上有解,

即方程在上有解.

令，由于，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞減.

，

，

函數(shù)的零點.

方程在上有解，，.

，的最大值為.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)；2.參數(shù)分離法；3.二次函數(shù)的零點分布；4.基本不等式；5.零點存在定理