【題目】設(shè)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點.若橢圓E的離心率為，三角形ABF2的周長為4.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C，D，設(shè)弦AB，CD的中點分別為M，N，證明：O，M，N三點共線.

【答案】（1）＋＝1；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義由三角形ABF2的周長求出a，代入離心率求出c，再求出b，即可求得橢圓的方程；（2）直線斜率不存在時由橢圓的對稱性即可證明；直線斜率存在時，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，A，B 點的坐標(biāo)代入方程，兩式相減利用中點坐標(biāo)公式變形可求出直線OM的斜率，同理可求出ON的斜率，兩斜率相等即可得證.

（1），a＝，

又e＝，∴c＝，b＝，

∴橢圓E的方程為＋＝1.

（2）當(dāng)直線AB，CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，中點M，N在x軸上，O，M，N三點共線；

當(dāng)直線AB，CD的斜率存在時，設(shè)其斜率為k(k≠0)，

且設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

則，兩式相減，得＝－，

又，所以·＝－，

則－－.

同理可得－，，∴O，M，N三點共線.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）．若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有一個陽爻的概率為（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)圖象在處的切線方程；

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.

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【題目】歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究，第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法，而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)．近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值的計算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AA1AB，M，N分別為AB，AA1的中點.

（1）求證：平面B1NC⊥平面CMN；

（2）若AB＝2，求點N到平面B1MC的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一.為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點扶貧村脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式，現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對比，其質(zhì)量按測試指標(biāo)可劃分為：指標(biāo)在區(qū)間的為優(yōu)等品；指標(biāo)在區(qū)間的為合格品，現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品中，各自隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測，測試指標(biāo)結(jié)果的頻數(shù)分布表如下：

甲種生產(chǎn)方式：

指標(biāo)區(qū)間

頻數(shù)

5

15

20

30

15

15

乙種生產(chǎn)方式：

指標(biāo)區(qū)間

頻數(shù)

5

15

20

30

20

10

（1）在用甲種方式生產(chǎn)的產(chǎn)品中，按合格品與優(yōu)等品用分層抽樣方式，隨機(jī)抽出5件產(chǎn)品，①求這5件產(chǎn)品中，優(yōu)等品和合格品各多少件；②再從這5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽出2件，求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率；

（2）所加工生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品，若是優(yōu)等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為15元，乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為20元.用樣本估計總體比較在甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式下，該扶貧單位要選擇哪種生產(chǎn)方式來幫助該扶貧村來脫貧？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點，點為曲線上的動點，求線段的中點到直線的距離的最大值.并求此時點的坐標(biāo).

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【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（2）如果對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）討論函數(shù)的零點個數(shù)．

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