【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)若存在x 使不等式2f(x)≥g(x)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0得x=

當(dāng)x∈(0, )時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈( ,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

①當(dāng)0<t<t+2≤ 時,t無解;

②當(dāng)0<t< <t+2時,即0<t< 時, =﹣

③當(dāng) ≤t<t+2時,即t≥ 時,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(t)=tlnt;

∴f(x)min=


(2)解:x 時,

2f(x)≥g(x)即2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,亦即2lnx≥﹣x+a﹣ ,可化為2lnx+x+ ≥a,

令h(x)=2lnx+x+ ,則問題等價于h(x)max≥a,

h′(x)= +1﹣ = ,

當(dāng)x∈[ ,1)時,h′(x)<0,h(x)遞減;當(dāng)x∈(1,e]時,h′(x)>0,h(x)遞增;

又h( )=2ln + +3e=3e+ ﹣2,h(e)=2lne+e+ =e+ +2,

而h(e)﹣h( )=﹣2e+ +4<0,所以h(e)<h( ),

故x 時,h(x)max=h( )=3e+ ﹣2,

所以實數(shù)a的取值范圍是:a≤3e+ ﹣2.


【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系寫出函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間,討論所給的區(qū)間和求出的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系,在不同條件下做出函數(shù)的最值;(2)2f(x)≥g(x)可化為2lnx+x+ ≥a,令h(x)=2lnx+x+ ,則問題等價于h(x)max≥a,利用導(dǎo)數(shù)可求得x 時h(x)max
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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