【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】

（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，證明OE為三角形BPF的中位線，得即可證明（2）證明平面，由，過(guò)分別作，的平行線，分別以它們作為軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，設(shè)，得，由直線與平面所成角的正弦值為列的方程求解即可

（1）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，則.

∵，，，

∴四邊形為正方形.

∵為的中點(diǎn)，∴為，的交點(diǎn)，

∴為的中點(diǎn)，即OE為三角形BPF的中位線

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，為的中點(diǎn)，

∴.∵，∴，

∴，.

在中，，∴.

又∵，∴平面.

又因?yàn)?/span>，所以過(guò)分別作，的平行線，分別以它們作為軸，

以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為.

設(shè)，則，

即.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.

取，得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)直線與平面所成角為，令，

得，

化簡(jiǎn)并整理得，解得（舍去），或.

所以，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】商品的銷售價(jià)格與銷售量密切相關(guān)，為更精準(zhǔn)地為商品確定最終售價(jià)，商家對(duì)商品A按以下單價(jià)進(jìn)行試售，得到如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)x（元）

15

16

17

18

19

銷量y（件）

60

58

55

53

49

（1）求銷量y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量與單價(jià)服從（1）中的線性回歸方程，已知每件商品A的成本是10元，為了獲得最大利潤(rùn)，商品A的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（結(jié)果保留整數(shù)）

（附：，．（15×60+16×58+17×55+18×53+19×49＝4648，152+162+172+182+192＝1455）

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【題目】某公司為了提高利潤(rùn)，從2012年至2018年每年對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤(rùn)增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)如下表：

年 份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

投資金額（萬(wàn)元）

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

年利潤(rùn)增長(zhǎng)（萬(wàn)元）

6.0

7.0

7.4

8.1

8.9

9.6

11.1

（1）請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程；如果2019年該公司計(jì)劃對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額是8萬(wàn)元，估計(jì)該公司在該年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)是多少？（結(jié)果保留2位小數(shù)）

（2）現(xiàn)從2012—2018年這7年中抽取2年進(jìn)行調(diào)查，記=年利潤(rùn)增長(zhǎng)－投資金額，求這兩年都是>2（萬(wàn)元）的概率.

參考公式：回歸方程中，

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【題目】已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，

①函數(shù)的一個(gè)周期為4；

②直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；

③函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

④函數(shù)在內(nèi)有25個(gè)零點(diǎn)；

其中正確的命題序號(hào)是_____（注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

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A.4B.3C.D.2

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(1)兩種方法抽取的3個(gè)題目中，恰好有1個(gè)自然科學(xué)類題目和2個(gè)文化生活類題目的概率是否相同?若相同，說(shuō)明理由；若不同，分別計(jì)算出兩種抽取方法對(duì)應(yīng)的概率．

(2)已知某參賽者抽取的3個(gè)題目恰好有1個(gè)自然科學(xué)類題目和2個(gè)文化生活類題目，且該參賽者答對(duì)自然科學(xué)類題目的概率為，答對(duì)文化生活類題目的概率為．設(shè)該參賽者答對(duì)的題目數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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（1）求證：EB∥平面PCD；

（2）求平面PAC與平面PCD所成角的余弦值．

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