Question

【題目】如圖，為矩形的邊上一點，且，將沿折起到，使得.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取，的中點，，連接，，，則，由題意可知，，，從而證明平面，即根據線面垂直的判定定理證明平面，再利用線面垂直的性質定理證明面面垂直即可.

（2）以為原點，，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.求解平面的法向量，平面的法向量，再根據，計算二面角余弦值，即可.

（1）取，的中點，，連接，，，則

，

，.

又在矩形中

又，平面，平面

平面

平面

又與為梯形的兩腰，必相交，平面，平面

平面，

又平面

平面平面.

（2）∵，

∴.

過點作，交與，則，，

以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則各點坐標為，，，.

設平面的法向量為，則，

，即，，取，則

設平面的法向量為，則，

，即，，取，則，

即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.