Question

已知

m

=（sinx，sinx），

n

=（sinx，-

3

cosx，）函數(shù)f（x）=

1

2

-

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，A為銳角，若sin（2A-

π

6

）-f（A）=

1

2

，b+c=7，△ABC的面積為2

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）解析式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求出f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域即可；
（2）由（1）確定出的解析式代入已知等式求出cos2A的值，確定出A的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積與sinA的值代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosA的值代入并利用完全平方公式變形，將b+c，bc的值代入計(jì)算即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinx，sinx），

n

=（sinx，-

3

cosx），
∴函數(shù)f（x）=

1

2

-

m

•

n

=

1

2

-（sin²x-

3

sinxcosx）=

1

2

-（

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（2x+

π

6

），
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇-

1

2

，1]；
（2）由（1）得到f（x）=sin（2x+

π

6

），
代入已知等式得：sin（2A-

π

6

）-sin（2A+

π

6

）=

1

2

，即-2cos2Asin

π

6

=-cos2A=

1

2

，
整理得：cos2A=-

1

2

，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
∵△ABC面積S=

1

2

bcsinA=2

3

，
∴bc=8，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=49-24=25，
則a=5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．