【題目】已知函數(shù)f(x)x3+ax2+bx,且f′(﹣1)=0.
(1)試用含a的代數(shù)式表示b;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)令a=﹣1,設(shè)函數(shù)f(x)在x1、x2(x1<x2)處取得極值,記點(diǎn)M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)).證明:線段MN與曲線f(x)存在異于M,N的公共點(diǎn).
【答案】(1)b=2a﹣1.(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)求導(dǎo)得到f′(x)=x2+2ax+b,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.
(2)討論a>1,a=1和a<1三種情況,分別計(jì)算得到答案.
(3)f′(x)=x2﹣2x﹣3=0,得x1=﹣1,x2=3,得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間,得到MN的方程為yx﹣1,計(jì)算F(0)=3>0,F(2)=﹣3<0,得到答案.
(1)依題意,得f′(x)=x2+2ax+b.由f′(﹣1)=1﹣2a+b=0得b=2a﹣1.
(2)f(x)x3+ax2+(2a﹣1)x,故f′(x)=x2+2ax+2a﹣1=(x+1)(x+2a﹣1).
令f′(x)=0,則x=﹣1或x=1﹣2a.
①當(dāng)a>1時(shí),1﹣2a<﹣1.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x)與f(x)的變化情況如下表:
x | (﹣∞,1﹣2a) | (1﹣2a,﹣1) | (﹣1,+∞) |
f′(x) | + | ﹣ | + |
f(x) | 單調(diào)遞增 | 單調(diào)遞減 | 單調(diào)遞增 |
得,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,1﹣2a)和(﹣1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(1﹣2a,﹣1).
②當(dāng)a=1時(shí),1﹣2a=﹣1.此時(shí),f′(x)≥0恒成立,且僅在x=﹣1處f′(x)=0,故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,+∞).
③當(dāng)a<1時(shí),1﹣2a>﹣1,同理可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣1)和(1﹣2a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(﹣1,1﹣2a).
綜上所述:當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,1﹣2a)和(﹣1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(1﹣2a,﹣1);
當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,+∞);
當(dāng)a<1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣1)和(1﹣2a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(﹣1,1﹣2a).
(3)當(dāng)a=﹣1時(shí),得f(x)x3﹣x2﹣3x.
由f′(x)=x2﹣2x﹣3=0,得x1=﹣1,x2=3.
由(2)得f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣1)和(3,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(﹣1,3),
所以函數(shù)f(x)在x1=﹣1,x2=3處取得極值.故M(﹣1,),N(3,﹣9).
所以直線MN的方程為yx﹣1.
由得x3﹣3x2﹣x+3=0.
令F(x)=x3﹣3x2﹣x+3.
易得F(0)=3>0,F(2)=﹣3<0,而F(x)的圖象在(0,2)內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線,
故F(x)在(0,2)內(nèi)存在零點(diǎn)x0,這表明線段MN與曲線f(x)有異于M,N的公共點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017高考新課標(biāo)Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在衡陽(yáng)市“創(chuàng)全國(guó)文明城市”(簡(jiǎn)稱(chēng)“創(chuàng)文”)活動(dòng)中,市教育局對(duì)本市A,B,C,D四所高中學(xué)校按各校人數(shù)分層抽樣,隨機(jī)抽查了200人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
學(xué)校 | A | B | C | D |
抽查人數(shù) | 10 | 15 | 100 | 75 |
“創(chuàng)文”活動(dòng)中參與的人數(shù) | 9 | 10 | 80 | 49 |
假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與“創(chuàng)文”活動(dòng)是相互獨(dú)立的
(1)若本市共8000名高中學(xué)生,估計(jì)C學(xué)校參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的人數(shù);
(2)在上表中從A,B兩校沒(méi)有參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求恰好A,B兩校各有1人沒(méi)有參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的概率;
(3)在隨機(jī)抽查的200名高中學(xué)生中,進(jìn)行文明素養(yǎng)綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)(滿(mǎn)分為100分),得到如上的頻率分布直方圖,其中.求a,b的值,并估計(jì)參與測(cè)評(píng)的學(xué)生得分的中位數(shù).(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了解高二年級(jí)中華傳統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的整體情況,從高二年級(jí)隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行了兩輪測(cè)試,并把兩輪測(cè)試成績(jī)的平均分作為該名學(xué)生的考核成績(jī).記錄的數(shù)據(jù)如下:
1號(hào) | 2號(hào) | 3號(hào) | 4號(hào) | 5號(hào) | 6號(hào) | 7號(hào) | 8號(hào) | 9號(hào) | 10號(hào) | |
第一輪測(cè)試成績(jī) | 96 | 89 | 88 | 88 | 92 | 90 | 87 | 90 | 92 | 90 |
第二輪測(cè)試成績(jī) | 90 | 90 | 90 | 88 | 88 | 87 | 96 | 92 | 89 | 92 |
(Ⅰ)從該校高二年級(jí)隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生考核成績(jī)大于90 分的概率;
(Ⅱ)從考核成績(jī)大于90分的學(xué)生中再隨機(jī)抽取兩名同學(xué),求這兩名同學(xué)兩輪測(cè)試成績(jī)均大于等于90分的概率;
(Ⅲ)記抽取的10名學(xué)生第一輪測(cè)試的平均數(shù)和方差分別為,,考核成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為,,試比較與, 與的大小.(只需寫(xiě)出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是定義為R的偶函數(shù),且對(duì)任意的,都有且當(dāng)時(shí), ,若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰好有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,cosB=.
(Ⅰ)若c=2a,求的值;
(Ⅱ)若C-B=,求sinA的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓柱體木材的橫截面半徑為,從該木材中截取一段圓柱體,再加工制作成直四棱柱,該四棱柱的上、下底面均為等腰梯形,分別內(nèi)接于圓柱的上、下底面,下底面圓的圓心在梯形內(nèi)部,,,,設(shè).
(1)求梯形的面積;
(2)當(dāng)取何值時(shí),直四棱柱的體積最大?并求出最大值(注:木材的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)直線l與曲線C是否有公共點(diǎn)?并說(shuō)明理由;
(2)若直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A,B,點(diǎn)P是曲線C上的一點(diǎn),求△PAB的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)試討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)存在極值,對(duì)于任意的,存在正實(shí)數(shù),使得 ,試判斷與的大小關(guān)系并給出證明.
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