Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，cosC=-

6

4

．
（1）若c=

2

a，試比較a與b的大�。�
（2）當b=2，sinB=

10

8

，D為AB的中點時，求CD的長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，將c=

2

a代入根據(jù)cosC的值小于0，即可判斷出a與b的大��；
（2）由cosC的值求出sinC的值，得到sinC=2sinB，利用正弦定理化簡c=2b，根據(jù)b的值求出c的值，根據(jù)sinB的值求出cosB的值，利用余弦定理表示出cosC，將b與c的值代入求出a的值，再利用余弦定理即可求出CD的值．

解答： 解：（1）∵c=

2

a，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-2a2

2ab

=

b2-a2

2ab

=-

6

4

＜0，即b²-a²=（b+a）（b-a）＜0，
∴b-a＜0，即a＞b；
（2）∵cosC=-

6

4

，sinB=

10

8

，
∴sinC=

1-cos2C

=

10

4

=2×

10

8

=2sinB，
∵b=2，
∴利用正弦定理化簡得：c=2b=4，
∵sinB=

10

8

，
∴cosB=

1-sin2B

=

3 6

8

，
∵cosC=

a2+4-16

4a

=-

6

4

，
解得：a=

6

，
在△BCD中，BC=a=

6

，BD=

1

2

AB=

1

2

c=2，cosB=

3 6

8

，
利用余弦定理得：CD²=（

6

）²+2²-2×

6

×2×

3 6

8

=6+4-9=1，
解得：CD=1．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．