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已知P是△ABC所在平面α外一點,O是點P在平面α內的射影
(1)若P到△ABC的三個頂點的距離相等,則O是△ABC外心;
(2)若PA、PB、PC與平面α所成的角相等,則O是△ABC的內心;
(3)若P到△ABC三邊距離相等,且O在△ABC的內部,則O是△ABC的內心;
(4)若平面PAB、PBC、PCA與平面α所成的角相等,且O在△ABC的內部,則O是△ABC的外心;
(5)若PA、PB、PC兩兩垂直,則O是△ABC的垂心.
其中正確命題的序號是______(把你認為正確命題的序號都寫上)
對于(1),如圖P是△ABC所在平面外一點,O是P點在平面a上的射影.
若P到△ABC三個頂點的距離相等,由條件可證得OA=OB=OC,
由三角形外心的定義可知,此時O是三角形ABC的外心,
∴命題(1)正確;
對于(2),∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心,
∴命題(2)不正確.
對于(3),在△ABC內部取一點P使得點P到△ABC的三邊距離相等,
∴點P應是△ABC的三內角角平分線的交點.三內角角平分線的交點,則O是△ABC的內心,
∴命題(3)正確;
對于(4),∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O為三角形的內心.則O是△ABC的外心,命題(4)不正確.
對于(5),連結AO并延長,交BC與D連結BO并延長,交AC與E;
因PA⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥面PBC,故PA⊥BC;
因PO⊥面ABC,故PO⊥BC,故BC⊥面PAO,
故AO⊥BC即AD⊥BC;
同理:BE⊥AC;
故O是△ABC的垂心.
∴命題(5)正確;
故答案為:(1)(3)(5).
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

下面給出四個命題:
①若a≥b>-1,則
a
1+a
b
1+b
;
②a<-1是一元二次方程ax2+2x+1=0有一個正根和一個負根的充分不必要條件;
③在數列{an}中,a1<a2<a3是數列{an}為遞增數列的必要不充分條件;
④方程(x+y-2)
x2+y2-9
=0
表示的曲線是一個圓和一條直線.
其中為真命題的是( 。
A.①②③B.①③④C.②④D.①②③④

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

給定下列四個命題:
①“若a>1且b>1,則a+b>2”的否命題為真命題;
②命題“p∨q為真”是命題“p∧q為真”的必要不充分條件;
③若loga
2
3
<1,則a的取值范圍為a>1或0<a<
2
3
;
④若實數x,y∈[-1,1],則滿足x2+y2≥1的概率為
π
4

其中為假命題的是______(填上所有正確命題的序號).

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

下列說法:
①命題“若x>0,則2x>1”的否命題是“若x≤0,則2x≤1”;
②關于x的不等式a<sin2x+
1
sin2x
恒成立,則a的取值范圍是a<3;
③函數f(x)=alog2|x|+x+b為奇函數的充要條件是a+b=0;
其中正確的個數是( 。
A.3B.2C.1D.0

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

對于△ABC,有如下命題:
①一定有a=bcosC+ccosB成立.
②若cos2A=cos2B,則△ABC一定為等腰三角形;
③若△ABC的面積為
3
,BC=2,C=60°,則此三角形是正三角形;
則其中正確命題的序號是______.(把所有正確的命題序號都填上)

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知命題P:?x∈R,x2+2ax+a≤0.若命題P是假命題,則實數a的取值范圍是( 。
A.(0,1)B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.[0,1]D.(-∞,0)∪[1,+∞)

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

給出下列結論:
①與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在一個橢圓上.
②若直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4右支有兩個公共點,則k∈(1,
5
2
)

③經過橢圓
x2
2
+y2=1
的右焦點F作傾斜角為600的直線l交橢圓于A,B兩點,且|AF|>|BF|,則
AF
=
9+3
2
7
FB

④拋物線y2=2x上的點P到直線y=x+4的距離的最小值為
7
2
4

其中正確結論的序號是______.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

關于函數f(x)=|x|x+bx+c,給出下列四個命題:其中正確的命題序號為______.
①b=0,c>0時,f(x)=0只有一個實數根;
②c=0時,f(x)是奇函數;
③y=f(x)的圖象關于點(0,c)對稱;
④函數f(x)至多有兩個零點.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

下列判斷錯誤的是( 。
A.a,b,m為實數,則“am2<bm2”是“a<b”的充分不必要條件
B.命題“對任意x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2-1>0”
C.若p且q為假命題,則p,q均為假命題
D.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題

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