【題目】已知圓O:x2+y2=1過橢圓C: (a>b>0)的短軸端點,P,Q分別是圓O與橢圓C上任意兩點,且線段PQ長度的最大值為3. (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(0,t)作圓O的一條切線交橢圓C于M,N兩點,求△OMN的面積的最大值.

【答案】:(Ⅰ)∵圓O過橢圓C的短軸端點,∴b=1, 又∵線段PQ長度的最大值為3,
∴a+1=3,即a=2,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(Ⅱ)由題意可設(shè)切線MN的方程為y=kx+t,即kx﹣y+t=0,則 ,得k2=t2﹣1.①
聯(lián)立得方程組 ,消去y整理得(k2+4)x2+2ktx+t2﹣4=0.
其中△=(2kt)2﹣4(k2+4)(t2﹣4)=﹣16t2+16k2+64=48>0,
設(shè)M(x1 , y1),N(x2 , y2),則 ,
.②
將①代入②得 ,∴ ,
,等號成立當(dāng)且僅當(dāng) ,即
綜上可知:(SOMNmax=1
【解析】(Ⅰ)由圓O過橢圓C的短軸端點b=1,線段PQ長度的最大值為3,a+1=3,a=2,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)直線MN的方程,由點到直線的距離公式,求得k2=t2﹣1,代入橢圓方程,由韋達定理及弦長公式求得丨MN丨,利用三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì),即可求得△OMN的面積的最大值.

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A.
B.2
C.3
D.

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A.x4+x3+2x2+3x+4
B.x4+2x3+3x2+4x+5
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D.x3+2x2+3x+4

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