Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式

3f(x)-2f(-x)

5x

＜0的解集為（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已給的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可畫出其圖象，注意過(guò)點(diǎn)（1，0）和（-1，0），且在（-∞，0）和（0，+∞）上有相同的單調(diào)性，再將要解的不等式據(jù)函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)為xf（x）＜0，據(jù)圖可得不等式的解集．

解答： 解：∵奇函數(shù)f（x）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上，在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在（-∞，0）上也是增函數(shù)，過(guò)點(diǎn)（-1，0），所以可將函數(shù)f（x）的圖象畫出，大致如下

∵f（-x）=-f（x），∴不等式

3f(x)-2f(-x)

5x

＜0可化為

f(x)

x

＜0，即xf（x）＜0，不等式的解集即為自變量與函數(shù)值異號(hào)的x的范圍，
據(jù)圖象可知x∈（-1，0）∪（0，1）．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題抓住兩點(diǎn)：①抽象函數(shù)直觀化，即借助于圖象表現(xiàn)其性質(zhì)，借助于圖象求解；②函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)的單調(diào)性則相反．